应用泛函分析

第1章  实变理论基础

1.1  集合与点集

1.2  Lebesgue测度

1.3  可测函数

1.4  Lebesgue积分

1.5  Zorn引理与超限归纳法

习题一

第2章  空间理论

2.1  线性空间

2.2  距离空间

2.2.1  距离空间和距离线性空间

2.2.2  可分性与完备性

2.2.3  列紧集与紧集

2.2.4  纲定理

2.3  赋范线性空间

2.3.1  赋范线性空间的定义与性质

2.3.2  有限维赋范线性空间

2.3.3  商空间与积空间

2.4  内积空间

2.4.1  内积空间

2.4.2  正规正交基

2.4.3  射影定理及应用

习题二

本章注记

第3章  线性算子

3.1  线性算子及连续性

3.2  有界线性算子

3.2.1  定义及实例

3.2.2  算子的范数

3.2.3  代数L(X)及算子的逆

3.3  基本定理及应用

3.3.1  Hahn-Banach延拓定理

3.3.2  逆算子定理

3.3.3  闭图像定理

3.3.4  一致有界定理

3.4  对偶空间与有界线性算子的共轭

3.4.1  对偶与二次对偶

3.4.2  常见空间上的连续线性泛函的表示

3.4.3  有界线性算子的共轭

3.5  有界线性算子的谱

3.5.1  谱的定义及求解实例

3.5.2  向量值解析函数

3.5.3  谱的基本性质

3.6  紧算子

3.6.1  定义、实例及性质

3.6.2  紧算子的谱理论

3.7  自伴算子

3.7.1  算子的伴随

3.7.2  自伴算子的基本性质

3.7.3  紧自伴算子

习题三

本章注记

第4章  非线性算子

4.1  非线性算子的连续性和有界性

4.2  微分和积分理论

4.2.1  抽象函数的积分

4.2.2  Fréchet微分

4.2.3  Gateaux

4.3  不动点定理

4.4  隐函数定理

习题四

本章注记

习题解答提示

参考文献

索引

记号表

王永革、藤岩梅、贾超华、冯伟杰编著的《应用泛函分析》共分4章,
分别介绍了实变函数、抽象空间、线性算子和非线性算子的基本概念、理论和方法。在内容的选取上,
既充分考虑了工科研究生的数学基础及专业研究需求, 又兼顾了泛函分析理论体系。 在编写时, 亦注重于基本理论与应用的结合,
力求以简明直观的语言来阐述泛函分析的思想和方法, 使读者在掌握抽象理论工具的同时能体会到深刻的数学思想, 得到较好的数学训练。
《应用泛函分析》适用对象是工科各专业硕士和博士研究生, 也可以作为工程研究人员的参考书。

王永革、藤岩梅、贾超华、冯伟杰编著的《应用泛函分析》共分4章,
分别介绍了实变函数、抽象空间、线性算子和非线性算子的基本概念、理论和方法。
鉴于绝大多数工科研究生在学习泛函分析以前没有修过实变函数课程的实际情况,
我们首先在第1章简要介绍了实变函数论中的集合、Lebesgue测度、Lebesgue可测和Lebesgue积分理论,
这些知识对于学习泛函分析,掌握现代分析方法, 无疑是十分重要的；第2章主要介绍抽象空间中的基本理论,
如可分性、完备性、紧性和纲定理等等, 重点介绍了射影定理及其应用；第3章是有关线性算子的内容,
主要介绍线性算子的有界性、基本定理、空间对偶、算子共轭、有界线性算子的谱、紧算子和自伴算子,
重点介绍了Hahn-Banach定理及其应用；第4章主要介绍非线性算子的连续性、有界性、 Fréchet
微分、Gteaux微分、不动点定理和隐函数定理。