几何学概论

第一部分 几何学发展概述

第1章 几何学发展简史

1 欧几里得与《原本》

1.1 《原本》产生的历史背景

1.2 《原本》的结构与内容

1.3 《原本》的优缺点

1.4 《原本》对我国数学的影响

2 解析几何的诞生

2.1 笛卡儿和费马在创立解析几何中的贡献

2.1.1 笛卡儿的主要工作

2.1.2 费马的主要工作

2.2 解析几何的发展

2.3 解析几何的重要性

3 从透视学到射影几何

3.1 射影几何的由来

3.2 射影几何的发展

3.3 平面射影几何公理体系

4 非欧几何的产生与非欧几何公理体系

4.1 非欧几何的产生背景

4.2 非欧几何的形成

4.3 非欧几何的发展与确认

5 几何学的统一与公理化思想

5.1 几何学的统一

5.2 几种几何学的比较

5.3 公理化思想方法

6 几何学的近现代发展简介

6.1 微分几何

6.2 拓扑学

练习1

第2章 非欧几何的几种典型模型

1 锐角假设与罗氏几何

1.1 锐角假设与双曲几何

1.2 双曲几何的代表——罗氏几何简介

1.3 真理性讨论

2 钝角假设与球面几何

2.1 钝角假设与椭圆几何

2.2 椭圆几何的代表——球面几何简介

2.2.1 球面上的基本图形

2.2.2 球面三角形

3 非欧几何的实现模型

3.1 克莱因模型

3.2 庞加莱模型

练习2

第二部分 欧氏几何、仿射几何与射影几何

第3章 欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类

1 直角坐标系、欧氏平面、变换群与等距变换

1.1 直角坐标系与欧氏平面

1.2 变换群

1.2.1 映射与变换的定义

1.2.2 ——维平面上的点变换及其代数表达式

1.2.3 映射的乘积与逆

1.2.4 变换的不动元素与不动子集

1.2.5 变换群的概念

1.3 等距变换

1.3.1 等距变换的定义和代数表达式

1.3.2 等距变换的直观实现

1.3.3 等距变换的性质

2 二次曲线的度量性质

2.1 欧氏平面上二次曲线的定义及基本概念

2.2 二次曲线与直线的相关位置

2.3 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

2.3.1 二次曲线的渐近方向

2.3.2 二次曲线的中心与渐近线

2.4 二次曲线的切线

2.5 二次曲线的直径

2.5.1 二次曲线的直径

2.5.2 共轭方向与共轭直径

2.6 二次曲线的主直径与主方向

3 利用平面直角坐标变换化简二次曲线的方程与分类

3.1 平面直角坐标变换

3.2 利用平面直角坐标变换化简二次曲线的方程与分类

练习3

第4章 仿射坐标系、仿射平面与仿射变换

1 仿射坐标系与仿射平面

1.1 平行射影

1.2 仿射坐标系与仿射平面

2 仿射变换的相关问题

2.1 仿射变换的代数表达式

2.2 关于仿射变换的确定及其重要定理

2.3 仿射平面上直线的几个常用结论

2.4 几种重要的仿射变换

2.5 仿射性质

练习4

第5章 从仿射平面到射影平面

1 扩大的仿射平面

1.1 中心射影和无穷远元素

1.2 射影直线和射影平面以及它们的性质

1.3 射影平面的拓扑模型

1.4 图形的射影性质

2 齐次仿射坐标

2.1 点的齐次仿射坐标

2.2 直线的齐次仿射坐标方程

2.3 齐次仿射线坐标

3 德萨格定理与平？对偶原理

3.1 德萨格定理

3.2 平面上的对偶原理

4 交比与调和共轭

4.1 点列中四点的交比,

4.2 线束中4条直线的交比

练习5

第6章 射影坐标系与射影变换

1 射影坐标系

1.1 直线上的射影坐标系

1.2 平面上的射影坐标系

2 射影变换

2.1 透视对应及其相关概念

2.1.1 点列与线束的透视对应

2.1.2 点列与线束的射影对应

2.2 射影变换

2.2.1 一维摄影变换

2.2.2 一维射影变换有一种特殊情况——对合

2.2.3 二维射影变换

3 射影对应（变换）的代数表达式和帕普斯定理

3.1 一维射影对应（变换）的代数表达式

3.2 二维射影对应（变换）的代数表达式

3.3 帕普斯定理

4 变换群与几何学的关系

4.1 平面上的几个重要变换群

4.2 欧氏几何与欧氏群

4.3 克莱因变换群观点简介

4.4 射影几何、仿射几何和欧氏几何间的比较

练习6

第7章 二次曲线的性质与分类

1 二次曲线的射影性质

1.1 二阶曲线与二级曲线的定义

1.2 二次曲线的射影定义

1.3 二阶曲线与二级曲线的关系

1.4 帕斯卡和布利安桑定理

1.5 二次曲线的极点与极线

1.6 配极原则与配极对应

2 二次曲线的射影分类

2.1 二阶曲线的奇异点

2.2 二次曲线的射影分类

3 二次曲线的仿射性质

3.1 二次曲线与无穷远直线的相关位置

3.2 二次曲线的中心

3.3 二次曲线的直线与共轭直径

3.4 二次曲线的渐近线

4 二次曲线的仿射分类

练习7

第三部分 “大学几何”与“中学几何”

第8章 “大学几何”对“中学几何”的指导意义

1 中学几何的研究内容及方法

1.1 几何学的研究对象及分类

1.2 中学几何的主要研究内容

1.3 中学几何的基本研究方法

2 “大学几何”与“中学几何”的联系

3 “大学几何”对“中学几何”教学的指导意义

3.1 高等师范院校数学教学改革中几何课程改革的重要性与必要性

3.2 用现代数学的观点看待“中学几何”

练习8

第9章 “大学几何”方法在“中学几何”中的应用

1 “向量法”与“坐标法”在中学几何中的应用

1.1 用向量法证明共点（或共线）问题

1.2 用向量法证明垂直（或平行）问题

1.3 有关夹角或距离问题的例子

1.4 有关面积、体积问题的例子

2 仿射及射影几何方法在中学几何中的应用

2.1 仿射方法在中学几何中的应用

2.2 射影方法在中学几何中的应用

练习9

参考文献

本书是顺应高等师范院校数学教育专业几何课程改革和中学数学课程改革的要求编写而成。全书分为三个部分，其中第一部分使学生了解几何学发展简史和非欧几何的几种经典模型；第二部分主要讲解欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类，仿射坐标系、仿射平面与仿射变换，从仿射平面到射影平面，射影坐标系、射影平面与射影变换，二次曲线的性质与分类，使学生理解和掌握仿射几何和射影几何的基本内容；第三部分主要介绍“大学几何”对“中学几何”的指导意义以及“大学几何”方法在“中学几何”中的应用，让读者通过本部分的学习为中学几何教学更好地服务。本书既可作为高等师范院校本科数学教育专业的几何教材，也可供在职中学数学教师作为参考读本。