数论教程

第一部分 代数方法

第一章 有限域

§1．一般结果

§2．有限域上的方程

§3．二次互反律

附录 二次互反律的另一证明

第二章 p-adic域

§1．环Zp和域Qp

§2．p-adic方程

§3．Qp的乘法群

第三章 Hilbert符号

§1．局部性质

§2．整体性质

第四章 Qp和Q上的二次型

§1．二次型

§2．Qp上的二次型

§3．Q上的二次型

附录 三个平方数的和

第五章 判别式为±1的整二次型

§1．预备知识

§2．结果陈述

§3．证明

第二部分 解析方法

第六章 算术级数中的素数定理

§1．有限Abel群的特征

§2．Dirichlet级数

§3．Zeta函数和L函数

§4．密度和Dirichlet定理

第七章 模形式

§1．模群

§2．模函数

§3．模形式空间

§4．在∞处的展开

§5．Hecke算子

§6．Theta函数

文献

符号索引

定义索引

本书是著名法国数学家、菲尔兹奖获得者Jean—Pierre Serre在20世纪 60年代为法国巴黎高等师范学院二年级授课的数论讲义。讲义对数论的三个基本领域：二次型、Dirichlet密度函数和模形式进行了精练和现代的介绍。内容分为两个部分。第一部分用局部化和p-adic工具讲述有理数域上二次型的局部一整体原则(算术理论)，第二部分为解析理论，讲述算术级数中素数分布定理的解析证明和模形式理论。全书自成体系，叙述简洁明快，深入浅出，被公认是学习近代数论的经典入门书籍。
　　本书可供高等学校数学及相关专业高年级学生、研究生用作教学参考书，也是教师和有关研究人员极好的参考书。

本书分两邵分。 第一部分是纯代数的，它的目标是有理数域上二次型的分类(Hasse-Minkowski定理)，这工作在第四章完成，前三章叙述某些预备知识：二次互反律，p-adic域，Hilbert符号，第五章是将上述结果用于判别式为±1的整二次型，这种二次型出现在模函数、微分拓扑和有限群等各种问题中。 第二部分(第六章和第七章)采用“懈析”，方法(全纯函数)，第六章给出Dirichlet“算术级数中的素数定理”的证明；在前一部分(第三章§2．2)的一个关键地方曾经用过这一定理，第七章处理模形式，特别是theta函数，这里再次出现第五章中的某些二次型。