数值分析

第1章绪论

1．1数值分析的概念与特点

1．1．1数值分析的概念

1．1．2数值分析的特点

1．2误差

1．2．1误差来源与分类

1．2．2误差的度量

1．3数值稳定性与避免误差危害

1．3．1算法的数值稳定性

1．3．2避免误差危害的原则

习题1

第2章解线性方程组的直接法

2．1高斯消去法

2．1．1上三角形方程组求解

2．1．2高斯消去法的基本思想

2．1．3解n阶线性方程组的高斯消去法

2．1．4矩阵的三角分解

2．1．5高斯消去法的计算量

2．2高斯主元素消去法

2．2．1高斯列主元消去法

2．2．2高斯-若当消去法

2．3高斯消去法的变形

2．3．1直接三角分解法

2．3．2特殊矩阵的三角分解

2．3．3列主元三角分解法

本章典型方法的C语言程序

习题2

第3章解线性方程组的迭代法

3．1向量和矩阵的范数

3．1．1向量的数量积及其性质

3．1．2向量范数

3．1．3矩阵范数

3．1．4线性方程组的摄动分析

3．2简单迭代法

3．2．1迭代法的基本思想

3．2．2简单迭代法的构造及相关概念

3．2．3三种常见的简单迭代法

3．3简单迭代法的收敛性

3．3．1迭代法收敛的基本定理

3．3．2迭代法收敛的误差估计

3．3．3三种常见的简单迭代法的简单判别方法

3．4共轭梯度法

3．4．1与线性方程组等价的变分问题

3．4．2最速下降法

3．4．3共轭梯度法

3．4．4预处理共轭梯度法

本章典型方法的C语言程序

习题3

第4章非线性方程(组)的数值解法

4．1引言

4．2二分法

4．3迭代法

4．3．1迭代格式的构造

4．3．2迭代法的几何解释

4．3．3计算步骤

4．3．4收敛性与误差估计

4．3．5局部收敛性

4．3．6迭代法的收敛阶

4．3．7迭代收敛的加速方法

4．4牛顿迭代法

4．4．1一般牛顿法

4．4．2牛顿法的变形

4．5解非线性方程组的牛顿迭代法．

4．5．1Newton法

4．5．2拟Newton法

本章典型方法的C语言程序

习题4

第5章矩阵特征值问题

5．1幂法与反幂法

5．1．1幕法

5．1．2反幕法

5．2计算实对称矩阵特征值的雅可比方法

5．3QR方法简介

5．3．1矩阵A的QR分解

5．3．2QR方法

本章典型方法的C语言程序

习题5

第6章插值法

6．1问题的提出

6．1．1插值函数的概念

6．1．2插值多项式的存在唯一性

6．2拉格朗日插值多项式

6．2．1线性插值和抛物插值

6．2．2拉格朗日插值多项式

6．2．3插值余项

6．3差商、差分及牛顿插值公式

6．3．1差商及牛顿插值公式

6．3．2差分及等距节点牛顿插值公式

6．4埃尔米特插值

6．5分段低次插值

6．5．1高次插值的误差分析

6．5．2分段低次插值

6．6三次样条插值

6．6．1三次样条插值函数

6．6．2三弯矩方法

本章典型方法的C语言程序

习题6

第7章最佳平方逼近及最小二乘法

7．1函数的内积与正交多项式

7．1．1函数的内积及其性质

7．1．2正交多项式

7．1．3勒让德多项式

7．2最佳平方逼近多项式

7．2．1基本概念及其计算

7．2．2用勒让德多项式作最佳平方逼近．

7．3最小二乘法

7．3．1最小二乘问题

7．3．2用最小二乘法求数据的拟合曲线

7．3．3用正交多项式作最小二乘拟合

7．3．4利用最小二乘方法解超定方程组

本章典型方法的C语言程序

习题7

第8章数值积分与数值微分

8．1数值积分问题的提出

8．1．1插值型求积公式

8．1．2插值型求积公式的截断误差与代数精度的概念

8．2等距节点的求积公式

8．2．1柯特斯系数

8．2．2几种低阶牛顿一柯特斯公式的截断误差

8．2．3复化求积公式与截断误差

8．3变步长求积算法

8．3．1变步长梯形求积算法

8．3．2龙贝格算法

8．4高斯求积公式

8．4．1一般理论

8．4．2高斯-勒让德求积公式

8．5重积分的近似计算

8．6数值微分

8．6．1数值微分问题的提出

8．6．2插值型求导公式及截断误差

本章典型方法的C语言程序

习题8

第9章常微分方程初值问题的数值解法

9．1问题的提出

9．2欧拉方法

9．2．1欧拉公式

9．2．2后退欧拉公式

9．2．3改进欧拉公式

9．2．4欧拉两步公式

9．3龙格-库塔方法

9．3．1龙格-库塔方法的基本思想

9．3．2二阶龙格-库塔公式

9．3．3高阶龙格-库塔公式

9．3．4变步长的龙格一库塔方法

9．4线性多步法

9．4．1基于数值积分的构造方法

9．4．2阿当姆斯内播公式

9．4．3阿当姆斯外推公式及其阿当姆斯预测-校正系统

9．5一阶方程组与高阶方程

9．5．1一阶方程组

9．5．2化高阶方程为-阶方程组

本章典型方法的C语言程序

习题9

第10章常微分方程边值问题的数值解法

10．1打靶法

10．2有限差分法

10．2．1解二阶线性常微分方程第一边值问题的差分方法

10．2．2解二阶非线性常微分方程第一边值问题的差分方法

10．3多重网格法

10．3．1二重网格法

10．3．2多重网格法

本章典型方法的C语言程序

习题10

参考答案与提示

习题1

习题2

习题3

习题4

习题5

习题6

习题7

习题8

习题9

习题10

参考文献

　　本书是关于介绍“数值分析”的教学用书，书中着重介绍了与科学计算有关的数值分析的基本方法，在强调基本概念和理论阐释的基础上非常重视实际应用，特别是数值方法在计算机上的实现。本书在理论分析方面力求完整的前提下，适当减少抽象的理论叙述，加强算法与实际计算能力的培养，特别注重分析数值方法的构造思想。此外，本书还适当介绍了一些数值方法上的最新成果，如(循环)块三对角线性方程组的求解方法、预处理共轭梯度法、多重网格法等；同时每章给出了两个典型方法的C语言程序供读者参考。