非线性波动方程的现代方法

《现代数学基础丛书》序

第二版序言

第一版序言

第1章 乘子方法、不变量及守恒积分

1．1 Laplace方程与共形变换群

1．2 乘子方法与一般的变换群

1．3 非线性波方程以及Klein-Gordon方程的不变量

1．4 Lagrange方法及其在波（含色散波）方程中的应用

第2章 弱解的时空可积性、唯一性及正则性

2．1 预备知识、线性估计及应用

2．2弱解的存在性

2．3 解的唯一性与正则性

第3章 半线性波动方程的光滑解

3．1 问题、结果及证明的归结

3．2 能量估计与次临界的情形

3．3 衰减估计与临界的情形

3．4 高维波动方程的Cauchy问题解的正则性

第4章 临界波方程能量解的整体适定性与散射性

4．1 能量解的Morawetz估计及整体适定性

4．2 能量解的整体时空估计及散射理论

4．3 波方程与Klein-Gordon型方程能量解及相关问题

第5章 非线性次临界Klein-Gordon方程与SchrSdinger方程的散射理论

5．1 引言

5．2 新型的Morawetz估计

5．3 整体时空估计Ⅰ

5．4 整体时空估计Ⅱ

5．5 散射性理论

第6章 非线性临界Klein-Gordon方程解的散射理论

6．1 引言

6．2 时空范数导致的能量聚积现象

6．3 局部时空估计

6．4 整体时空估计

6．5 散射性理论

第7章 非线性Klein-Gordon型方程解的局部衰减与低正则性

7．1 非线性Klein-Gordon方程解的局部衰减

7．2 高阶非线性Klein-Gordon方程解的局部衰减

7．3 非线性波动方程的低正则性

第8章 非线性高阶Klein-Gordon方程的散射性理论

8．1 引言

8．2 Strichartz估计与适定性理论

8．3 散射理论的机制

8．4 频率局部化技术

8．5 几乎有限传播速度

8．6 散射性理论

附录 函数空间嵌入定理及其记忆方法

A．1 函数空间中嵌入定理的基本内容与证明思路

A．2 Sobolev嵌入定理与尺度变换原理

A．3 用纯光滑尺度来理解插值、乘子、嵌入等关系

A．4 Morrey型空间与John-Nirenberg型位势估计

A．5 Sobolev嵌入定理在PDEs中的应用举例

参考文献

名词索引

《现代数学基础丛书》已出版书目

《非线性波动方程的现代方法（第2版）》的主旨是利用调和分析的现代理论（特别是Fourier限制型估计、可微函数空间的Littlewood-Paley刻画、Fourier局部化技术等）研究非线性波动方程的适定性与散射理论。除了第一版中涉及的在共形变换或其他变换群下的不变量、经典Morawetz估计、Strichartz估计、非线性波动方程弱解的正则性与唯一性、光滑解与能量解的适定性、临界波方程的散射性理论之外，在第二版中增加了如下两个方面的内容：其一是采用时空乘子方法结合加权的Sobolev-Hardy型不等式，建立不依赖于非线性项及空间维数的Morawetz型估计，通过能量的局部化及线性波的分离、Bourgain的能量归纳技术，证明了临界及次临界Klein-Gordon方程的散射性理论；其二是对于具双Schrodinger结构的高阶Klein-Gordon方程（即Beam方程，它的特点是既没有有限传播速度，也没有独立的质量守恒），通过引入不同形式的容许关系，建立局部与整体的Strichartz估计。利用Tao的频率局部化方法建立广义的几乎有限传播速度，进而建立高阶Klein-Gordon方程能量散射理论。《非线性波动方程的现代方法（第2版）》的特点是将调和分析方法与现代数学物理方法有机结合，反映这一核心数学领域的最新研究成果与研究进展，特别是利用Bourgain的能量归纳技术与Tao的频率局部化方法，给出了非线性波动方程、Klein-Klein型方程（含高阶情形）的经典研究的统一处理。
《非线性波动方程的现代方法（第2版）》可供理工科院校数学、应用数学专业的高年级大学生、研究生、教师以及相关的科技工作者阅读参考。