数学物理方程

1偏微分方程模型与定解问题

1.1弦振动方程模型及定解条件

1.1.1弦振动方程的导出

1.1.2定解问题与定解条件

习题1.1

1.2其他典型方程模型与叠加原理

1.2.1热传导方程模型

1.2.2调和方程模型

1.2.3交通流模型

1.2.4叠加原理

习题1.2

2特征线法与行波法

2.1特征线法

2.1.1一阶常系数线性方程求解

2.1.2一维波动方程的通解

习题2.1

2.2达朗贝尔公式

2.2.1达朗贝尔公式的导出

2.2.2传播波

2.2.3依赖区间、决定区域和影响区域

习题2.2

2.3三维波动方程的柯西问题

2.3.1三维波动方程的泊松公式

2.3.2泊松公式的物理意义

2.3.3降维法求解二维波动方程的柯西问题

习题2.3

2.4齐次化原理及应用

2.4.1齐次化原理

2.4.2齐次化原理应用

2.4.3高维非齐次波动方程的柯西问题

习题2.4

3分离变量法

3.1直角坐标系下的分离变量法

3.1.1有界弦的自由振动问题

3.1.2有限长杆的热传导问题

3.1.3分离变量法总结及固有值问题

习题3.1

3.2极坐标下的分离变量法

习题3.2

3.3非齐次方程问题与非齐次边界问题

3.3.1非齐次方程的特征函数法

3.3.2非齐次边界问题

习题3.3

4格林函数法

4.1狄拉克函数与基本解

4.1.1狄拉克函数

4.1.2泊松方程的基本解

习题4.1

4.2格林公式及格林函数

4.2.1散度定理与格林公式

4.2.2泊松方程狄利克雷问题的格林函数

习题4.2

4.3特殊区域上的格林函数及应用

4.3.1格林函数的求法

4.3.2格林函数应用

习题4.3

5积分变换法

5.1傅里叶变换与拉普拉斯变换

5.1.1傅里叶变换及其性质

5.1.2拉普拉斯变换及其性质

5.1.3典型函数的积分变换

习题5.1

5.2傅里叶变换应用举例

习题5.2

5.3拉普拉斯变换应用举例

习题5.3

6特殊函数

6.1贝塞尔函数的推导

6.1.1幂级数解法

6.1.2贝塞尔函数

习题6.1

6.2贝塞尔函数的性质

6.2.1贝塞尔函数的递推公式

6.2.2贝塞尔函数的零点与正交模

6.2.3函数按贝塞尔函数系展开

习题6.2

6.3贝塞尔函数的应用

习题6.3

6.4勒让德函数

6.4.1勒让德方程的求解

6.4.2勒让德多项式

习题6.4

6.5勒让德多项式应用

6.5.1函数按勒让德多项式展开

6.5.2球形区域上调和方程边值问题求解

习题6.5

7极值原理与能量估计

7.1泊松方程的极值原理

7.1.1极大值原理

7.1.2泊松方程边值问题解的最大模估计

7.1.3强极值原理

习题7.1

7.2热传导方程的极值原理

7.2.1极值原理

7.2.2第一边值问题解的唯一性

7.2.3解的最大模估计

习题7.2

7.3波动方程的能量估计

7.3.1振动的动能和位能

7.3.2初边值问题解的唯一性与稳定性

习题7.3

附录A傅里叶变换函数表

附录B拉普拉斯函数表

附录C高斯函数和误差函数

附录DΓ函数

部分习题答案及提示

参考文献

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本书是为国内理工类数学相关各专业普遍开设的“数学物理方程”课程编写的教材. 其内容包括数学物理定解问题； 常用定解问题解法(分离变量法，行波法，积分变换法，格林函数法)； 特殊函数（主要是贝塞尔函数），极值原理及应用. 每节后附有习题并在书末给出了部分答案.全书按方程解法分章，层次分明，深入浅出，便于教学. 经适当章节取舍，本书也可作为工科相关专业开设的“数理方程与特殊函数”课程的教材，并可供从事偏微分方程研究的科技工作者参考.