张量分析及在力学中的应用

第1章 场论

1.1 标量场的梯度

1.2 矢量场的散度

1.3 矢量场的旋度

1.4 关于梯度、散度、旋度的公式

1.5 梯度、散度、旋度定义的不变性

1.6 线积分与面积分

1.7 积分定理

习题

第2章 矩阵

2.1 矩阵的加法与乘法

2.2 方阵的逆阵

2.3 转置矩阵

2.4 本征值与本征矢量

2.5 凯莱-哈密顿定理

2.6 极分解定理

习题

第3章 张量概念

3.1 引言

3.2 N维空间与坐标变换

3.3 指标与排列符号

3.4 逆变矢量与协变矢量

3.5 不变量

3.6 二阶张量

3.7 高阶张量

习题

第4章 张量代数

4.1 张量的加法，减法与乘法

4.2 缩并与内乘

4.3 商定律

4.4 度量张量

4.5 二阶共轭对称张量

4.6 两矢量间的夹角、正交性质

4.7 指标的升降

4.8 张量的物理分量

4.9 排列张量

4.1 0二阶张量的本征值与本征矢量

4.1 1二阶张量的主方向与不变量

4.1 2偏张量

习题

第5章 张量分析

5.1 克里斯托费尔符号

5.2 矢量的协变微分

5.3 张量的协变微分

5.4 协变微分法规则

5.5 不变微分算子

5.6 内禀微分

5.7 相对张量

习题

第6章 黎曼空间的曲率

6.1 黎曼-克里斯托费尔张量

6.2 曲率张量

6.3 比安基恒等式

6.4 里奇张量与曲率不变量

6.5 爱因斯坦张量和黎曼曲率

6.6 平坦空间

6.7 常曲率空间

6.8 测地线与测地坐标

6.9 矢量的平行性

习题

第7章 张量分析在弹性力学中的应用

7.1 弹性力学简介及变形固体基本假设

7.2 应力理论

7.3 应变理论

7.4 弹性本构关系

7.5 弹性力学问题的建立及求解方法

7.6 简单平面问题

7.7 其他坐标形式的弹性力学基本方程

习题

第8章 张量分析在损伤力学中的应用

8.1 张量的并矢表示和缩并

8.2 损伤本构方程

8.3 损伤变量和有效应力

8.4 损伤能量释放率和断裂准则

8.5 各向同性材料耦合损伤的热力学理论

8.6 各向异性损伤理论

第9章 运用软件Matlab及Mathematica的解题方法

9.1 Matlab和Mathematica简介

9.2 Matlab和Mathematica的矩阵运算

9.3 Matlab的张量运算

9.4 Mathematica的张量运算

习题

附录A 示范例题

张量概念

逆变矢量、协变矢量和张量

克罗内克符号δ

张量的基本运算

对称张量和反对称张量

矩阵

线元和度量张量

相伴张量

克里斯托费尔符号

测地线

协变导数

张量形式的梯度、散度和旋度

内禀导数

相对张量

综合应用

附录B 正规正交化

附录C 曲线坐标系

C.1 正交曲线坐标系

C.2 单位矢量、弧元与体积元

C.3 梯度、散度与旋度

C.4 常用的几种正交曲线坐标系

习题

附录D 部分附录答案

参考文献

本书系统阐述了张量分析及其在力学中的应用。全书共分9章，第1，2章介绍张量的基础知识，第3～6章介绍张量代数、张量分析和黎曼空间的曲率，第7，8章介绍张量分析在弹性力学和损伤力学中的应用。第9章介绍Matlab和Mathematica在矩阵和张量演算中的应用。附录A、B、C分别简述了经典的例题、正规正交化和曲线坐标系； 附录D提供部分附录习题的证明或解题的全过程，可供教师和自学者参考。本书可作为大学数学、物理、力学、天文、航空、航天、土木、水利、交通、信息和管理学科的研究生和高年级大学生的参考教材，还可供相关专业的研究人员和工程技术人员自学参考。