数学物理方法

绪论

第1章 数学物理方程及其定解条件

1.1 数学物理基本方程的建立

1.1.1 波动方程

1.1.2 热传导方程和扩散方程

1.1.3 泊松方程和拉普拉斯方程

1.1.4 亥姆霍茨方程

1.2 定解条件

1.2.1 初始条件

1.2.2 边界条件

1.3 定解问题的提法

1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简解的叠加原理

1.4.1 含有两个自变量二阶线性偏微分方程的分类与化简

1.4.2 线性偏微分方程的叠加原理

1.5 历史注记——数学物理学家：达朗贝尔

1.6 例题分析

习题1

第2章 分离变量法148

2.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法

2.1.1 有界弦的自由振动

2.1.2 有限长杆上的热传导

2.2 二维Laplace方程的定解问题

2.3 非齐次方程的解法

2.4 非齐次边界条件的处理

2.5 历史注记——数学物理学家：傅里叶

2.6 例题分析

习题2

第3章 二阶常微分方程的级数解法本征值问题

3.1 二阶常微分方程的级数解法

3.1.1 常点邻域内的级数解法

3.1.2 正则奇点附近的级数解法

3.2 Legendre方程的级数解

3.3 Bessel方程的级数解lOl

3.4 Sturm-Liouville本征值问题

3.4.1 Sturm-Liouville方程

3.4.2 本征值问题的一般提法

3.4.3 本征值问题的一般性质

3.5 历史注记——数学物理学家：刘维尔

3.6 例题分析

习题3

第4章 Bessel函数的性质及其应用

4.1 Bessel方程的引出

4.2 Bessel函数的性质

4.2.1 Bessel函数的基本形态及本征值问题

4.2.2 Bessel函数的递推公式

4.2.3 Bessel函数的正交性和模方

4.2.4 按Bessel函数的广义Fourier级数展开

4.3 Bessel函数在定解问题中的应用

4.4 修正Bessel函数

4.4.1 第一类修正Bessel函数

4.4.2 第二类修正Bessel函数

4.5 可化为Bessel方程的方程

4.5.1 Kelvin（W.Thomson）方程

4.5.2 其他例子

4.5.3 含Bessel函数的积分

4.6 历史注记——天文学家、数学家：贝塞尔

4.7 例题分析

习题4

第5章 Legendre多项式及其应用

5.1 Legendre方程与Legendre多项式的引入

5.2 Legendre多项式的性质

5.2.1 Legendre多项式的微分表示

5.2.2 Legendre多项式的积分表示

5.2.3 Legendre多项式的母函数

5.2.4 Legendre多项式的递推公式

5.2.5 Legendre多项式的正交归一性

5.2.6 按P（x）的广义Fourier级数展开

5.2.7 一个重要公式

5.3 Legendre多项式的应用

5.4 关联Legendre多项式

5.4.1 关联Legendre函数的微分表示

5.4.2 关联Legendre函数的积分表示

5.4.3 关联Legendre函数的正交性与模方

5.4.4 按Pr（z）的广义Fourier级数展开

5.4.5 关联Legendre函数递推公式

5.5 其他特殊函数方程简介

5.5.1 Hermite多项式

5.5.2 Laguerre多项式

5.6 历史注记——数学家：勒让德

5.7 例题分析

习题5

第6章 行波法和积分变换法

6.1 一维波动方程的dAlember公式

6.2 三维波动方程的Poisson公式

6.2.1 三维波动方程的球对称解

6.2.2 三维波动方程的Poisson公式

6.2.3 Poisson公式的物理意义

6.3 Fourier积分变换法求定解问题

6.3.1 预备知识——Fourier变换及性质

6.3.2 Fourier变换法

6.4 Laplace积分变换法解定解问题

6.4.1 Laplace变换及其性质

6.4.2 Laplace变换法

6.5 历史注记

6.5.1 数学家、天文学家：拉普拉斯

6.5.2 数学物理学家：泊松

6.6 例题分析

习题6

第7章 Green函数法

7.1 引言

7.2 占函数的定义与性质

7.2.1 函数的定义

7.2.2 广义函数的导数

7.2.3 函数的Fourier变换

7.2.4 高维函数

7.3 Poisson方程的边值问题

7.3.1 Green公式

7.3.2 解的积分形式——Green函数法

7.3.3 Green函数关于源点和场点是对称的

7.4 Green函数的一般求法

7.4.1 无界区域的Green函数

7.4.2 用本征函数展开法求边值问题的Gteen函数

7.5 用电像法求某些特殊区域的Dirichle-Green函数

7.5.1 Poisson方程的DchieFGreen函数及其物理意义

7.5.2 用电像法求Green函数

7.6 历史注记——数学物理学家：格林

7.7 例题分析

习题7

第8章 积分方程和非线性微分方程简介

8.1 积分方程的分类及解法

8.1.1 积分方程的概念与分类

8.1.2 退化核方程的求解

8.1.3 积分方程的迭代解法

8.1.4 对称核的Fredholm方程

8.1.5 微分方程与积分方程的联系

8.2 非线性微分方程及其某些解法

8.2.1 求解非线性微分方程的函数变换方法

8.2.2 非线性偏微分方程的孤立波解

8.2.3 解析近似解与正则摄动法

8.3 历史注记——数学家：庞加莱

习题8

附录

附录A 正交曲线坐标系中的Laplace算符

附录B r函数的定义和基本性质

附录C 通过计算留数求拉普拉斯变换的反演

附录D Fourier变换和Laplace变换简表

参考文献

《数学物理方法：理论、历史与计算机/高等学校理工科数学类规划教材·创新系列》，理论内容分为8章，包括数学物理方程及其定解条件的推导；分离变量法求解定解问题；二阶线性常微分方程的级数解法与本征值问题的提法与性质；Bessel函数的性质与应用；Legendre多项式的性质与应用；行波法和积分变换法求解定解问题；Green函数法求解定解问题；积分方程和非线性微分方程简介等，可以作为高等院校通讯电子类、机械建筑类以及应用数学与应用物理等专业本科学生的教材或教学参考书。