实变函数论

第1章 集合与点集

1.1 集合及其运算

1.1.1 集合的基本概念

1.1.2 集合的运算

1.1.3 集的分解

1.1.4 笛卡尔乘积集

1.1.5 域

1.1.6 集列的极限

习题1.1

1.2 映射与基数

1.2.1 映射的概念

1.2.2 对等

1.2.3 数的进位制简介

1.2.4 伯恩斯坦定理

1.2.5 有限集、无限集及基数

习题1.2

阅读材料1

1.3 可数集合

1.3.1 可数集的定义

1.3.2 可数集的性质

习题1.3

阅读材料2

1.4 不可数集合

习题1.4

第2章 n维空间巾的点集

2.1 聚点、内点、边界点、Bo1zano-Weierstrass定理

习题2.1

2.2 开集、闭集与完备集

2.2.1 稠密与疏朗

2.2.2 开集、闭集

2.2.3 开覆盖、紧集

2.2.4 完备集

2.2.5 Bore1集

2.2.6 点集上的连续函数

习题2.2

2.3 一维开集、闭集、完备集的结构

习题2.3

2.4 点集间的距离

习题 2.4.

第3章 潮度论

3.1 开集的体积

习题3.1

3.2 点集的外测度

3.2.1 外测度的定义

3.2.2 外测度的性质

3.2.3 内测度

习题3.2

3.3 可测集及测度

3.3.1 可测集的定义

3.3.2 可测集的运算

3.3.3 可测集列的极限

3.3.4 Lebesgue（勒贝格）可测集的结构

3.3.5 勒贝格测度的平移、旋转不变性

3.3.6 不可测集

习题3.3

3.4 乘积空间

习题3.4

第4章 可潮函数

4.1 可测函数的定义及其简单性质

4.1.1 勒贝格可测函数的定义

4.1.2 勒贝格可测函数的性质

4.1.3 勒贝格可测函数列的极限

4.1.4 复合函数的可测性

习题4.1

4.2 可测函数的逼近定理

4.2.1 Egoroff（叶果洛夫）定理

4.2.2 Lusin（鲁津）定理

4.2.3 依测度收敛

习题4.2

第5章 积分理论

5.1 非负函数的积分

5.1.1 测度有限的集上有界可测函数的积分

5.1.2 测度有限的集上一般函数的积分

5.1.3 测度无限的集上的Lebesgue积分

5.1.4 非负可测函数积分的几何意义

5.1.5 积分的极限定理

习题5.1

5.2 可积函数

习题5.2

5.3 重积分与累次积分的关系

5.3.1 非负广义实值可测函数情形

5.3.2 可积函数情形

习题5.3

5.4 微分与不定积分

5.4.1 单调函数

5.4.2 有界变差函数

5.4.3 绝对连续函数

习题5.4

第6章 Lp空间及抽象测度与积分

6.1 Lp空间

6.1.1 Lp空间的定义与不等式

6.1.2 Lp空间的结构

习题6.1

6.2 L2内积空间

6.2.1 内积正交系

6.2.2 广义Fourier级数

6.2.3 L2（E）中的线性无关组

习题6.2

6.3 抽象测度与积分

6.3.1 集合环上的测度及扩张

6.3.2 可测函数及其积分

习题解析

附录：各章 知识点概要

参考文献

《实变函数论（第2版）》是作者根据自己多年对实变函数论课程的学习与教学编写的一部实变函数论教材。实变函数论是数学专业的一门重要的基础课程。通过学习，学生能掌握近代抽象分析的基本思想，加深对数学分析知识的理解，深化对中学数学有关内容的认识，同时为今后学习泛函分析、函数论、概率论、微分方程、拓扑学等课程提供必要的测度论和积分论的基础，并为进一步学习现代数学打下必要的基础。
　　《实变函数论（第2版）》主要包括六部分，分别是集合及其基数、n维空间中的点集、测度理论、可测函数、积分理论和函数空间Lp。每章各节后均附习题，以便读者学习和掌握实变函数论的基础知识。
　　《实变函数论（第2版）》适用于高等院校数学系本科生、研究生学习，也可供其他有关学科学生、教师和科研工作人员参考和学习。