论数学真理

第一章数学真理的创造

第一节负数和虚数的引进

一、负数的引进

二、虚数的引进

第二节非欧几何的诞生

一、平行公理的证明

二、罗氏几何的诞生

三、黎曼几何的诞生

第三节超限数理论的创立

一、超限数的创立

二、超限数创立的哲学分析

第四节数理逻辑的形成

一、莱布尼兹的数理逻辑思想

二、布尔代数

三、数理逻辑形成的哲学分析

第五节结论

第二章数学真理的发展

第一节微积分的严密化运动

第二节从笛卡儿的解析几何到格拉斯曼的n维几何

一、笛卡儿的解析几何

二、格拉斯曼的n维几何

第三节从方程论到群论

一、代数方程的根式解

二、群论的创立

第四节结论

第三章数学真理的客观性

第一节欧氏几何是现实空间的正确描述

第二节非欧几何的出现

第三节欧几里得的《几何原本》与希尔伯特的《几何基础》

一、欧几里得《几何原本》的缺陷

二、希尔伯特的《几何基础》

第四节希尔伯特规划

一、集合论悖论的发现

二、希尔伯特规划

第五节塔尔斯基关于真理的理论

第四章逻辑与历史的复杂关系

第一节线性代数中逻辑与历史不一致的现象

一、行列式理论的形成

二、矩阵理论的形成

三、行列式概念与矩阵概念的关系

第二节几何学中逻辑与历史不一致的现象

一、射影几何的肇始

二、几何学的分类

三、度量几何与射影几何

第三节微积分中逻辑与历史不一致的现象

第四节结论

第五章数学真理的多元性

第一节关于无理数的两种理论

一、无理数的发现

二、关于无理数的两种不同理论

第二节关于自然数的三种理论

一、关于自然数的第一种理论

二、萨尔可夫斯基序列关于自然数的第二种理论

三、用集合表示自然数关于自然数的第三种理论

第三节关于空间并存着的几种几何

第四节标准分析与非标准分析

一、标准分析

二、非标准分析

第五节两种不同的公理集合论系统

一、康托尔集合论的缺陷

二、策梅洛-弗伦克尔公理系统

三、GB系统

第六节结论

第六章数学真理的判定

第一节经验不是判定数学真理的标准

第二节逻辑证明

一、逻辑证明

二、演绎推理在数学中的其他作用

第三节实践证明

第四节再谈逻辑证明

第七章数学真理的走向

第一节从欧氏几何到非欧几何

一、作为绝对真理的欧氏几何

二、作为相对真理的欧氏几何和非欧几何

三、康德的几何思想

第二节代数中的形式永恒性原理与非交换代数

一、代数中的形式永恒性原理

二、非交换代数的出现

第三节希尔伯特的证明论与哥德尔不完全性定理

一、数学理论绝对相容性的追求

二、哥德尔的不完全性定理

第四节结论

参考文献

　　19世纪非欧几何的出现促进了数学的大发展，数学的大发展又促进了物理科学的大发展。而数学和物理学的发展不仅改变了我们对宇宙的看法，而且也使我们的思想方法和认知方式发生了根本性的变化。作者写这本书的目的，就是要介绍获得数学真理的一些重要特征和规律。全书共分7个章节，具体内容包括数学真理的发展、数学真理的客观性、数学真理的多元性、数学真理的判定等。可供各大专院校作为教材使用，也可供从事相关工作的人员作为参考用书使用。　　作者根据数学科学的精神在认识论方面提出了一些新的观点：数学理论可以在没有经验基础的情况下创建；数学理论的产生并不完全遵循实践-理论-实践的模式；数学真理蕴涵的经验越少越客观；在数学中历史与逻辑并不总是一致的；数学真理不仅是一元的，而可以是多元的；数学真理的走向是从绝对走向相对，这表明数学真理是不可穷尽的。　　全书共有七章，第一章数学真理的创造；第二章数学真理的发展；第三章数学真理的客观性；第四章逻辑与历史的复杂关系；第五章数学真理的多元性；第六章数学真理的判定；第七章数学真理的走向。　　本书适合科研院所哲学、数学以及相关专业研究的人员、大专院校的师生和对人文科学感兴趣的广大读者参考阅读。