整体微分几何初步

第0章 E3中曲线和曲面的局部概论

§1 E3中的曲线

1.1 曲线的表示

1.2 曲线的Frenet标架曲率和挠率

1.3 曲线论的基本公式和基本定理

§2 E3中的曲面

2.1 曲面的表示

2.2 曲面上的活动标架第一基本形式

2.3 长度、角度和面积元

2.4 常见曲面

§3 曲面上的曲率

3.1 曲面的第二基本形式

3.2 wreingarten变换主曲率

3.3 Gauss曲率平均曲率曲率线

3.4 Gauss映射第三基本形式

§4 曲面的局部理论

4.1 自然标架的基本公式

4.2 测地曲率测地线

4.3 法坐标与测地极坐标

第一章 活动标架法

§1 幺正标架

1.1 幺正标架

1.2 双参数下的外乘法与外微分

1.3 幺正标架的运动方程

§2 外微分形式

2.1 外代数

2.2 外微分形式

2.3 外微分

2.4 微分形式的积分

§3 可积系统

3.1 E3的结构方程

3.2 Frobenius定理

§4 曲线和曲面的基本定理

4.1 曲线论基本定理

4.2 用活动幺正标架研究曲面

4.2.1 联络与第二基本形式

4.2.2 测地曲率的Liouville公式

4.2.3 Gauss美妙定理

4.3曲面论基本定理

第二章 曲线的整体微分几何

§1 平面曲线的某些整体性质

1.1 等周不等式

1.2 曲线的旋转指标

1.2.1 映射的度数

1.2.2 旋转指标定理

1.3 凸闭曲线

§2 空间曲线的某些整体性质

2.1 球面上的Crofton公式

2.2 空间曲线的全曲率

2.3 空间曲线的全挠率

第三章 E3中曲面的整体微分几何

§1 曲面的Gauss—Bonnet公式

1.1 曲面的整体描述

1.2 Gauss-Bonnet公式

§2 Liebmann定理

2.1 球面的刚性

2.2 两个引理

2.3 Liebmann定理的证明

§3 凸曲面和积分公式

3.1 凸曲面的Hadamard定理

3.2 Cohn-Vossen定理

3.3 Minkowski积分公式

§4 Mink：OWSki问题和Christoffel问题的唯一性

4.1 概述

4.2 基本公式

4.3 Minkowski问题的唯一性

4.4 Christoffel问题的唯一性

§5 全平均曲率与willmore猜想

5.1 全平均曲率

5.2 球面的一个特征

5.3 环面的全平均曲率

5.4 Fenchel定理

§6 常负曲率曲面和Backlund变换

6.1 常负曲率曲面和SG方程

6.2 伪球线汇和焦曲面

6.3 Backlund变换

§7 Hilbert定理

7.1 负曲率曲面上的渐近线网

7.2 常负曲率完备曲面上的整体渐近线网

7.3 定理的证明

§8 Hartman—Nirenberg定理

8.1 预备引理

8.2 定理的证明

§9 极小曲面的Bernstein定理

9.1 共变微分和Laplacian△

9.2 关于Gauss曲率的计算

9.3 极小图的Gauss曲率计算

9.4 Bernstein定理的证明

§10 常平均曲率曲面

10.1 面积的变分

10.2 保体积的变分

10.3 Hopf定理

第四章 曲面的内蕴几何学

§1 曲面上的向量场

1.1 曲面上的向量场

1.2 曲面上向量场的平行移动

1.3 向量场的奇点

1.4 抽象曲面上的向量场

§2 测地线与完备曲面

2.1 测地线

2.2 指数映射exp

2.3 测地线的最短性

2.4 完备性

§3 弧长的第一变分

3.1 曲线的变分

3.2 第一变分公式

3.3 第一变分公式的应用

§4 弧长的第二变分及Jacobi场

4.1 弧长的第二变分公式

4.2 Jacobi场

4.3 共轭点

§5 曲率与拓扑

5.1 曲率与Jacobi场

5.2 Gauss曲率非正的曲面

§6 闭测地线与基本群

6.1 闭测地线与基本群

6.2 覆盖空间与闭测地线

6.3 紧致闭曲面上的闭测地线

第五章 高维欧氏空间的超曲面

§1 基本公式

1.1 超曲面的结构方程和曲率张量

1.2 主曲率与平均曲率

1.3空间形式

§2 积分公式

2.1 Minkowski积分公式

2.2 紧致凸超曲面

§3 球面的刚性定理

3.1 非负Ricci曲率的紧致超曲面

3.2 常数数量曲率的紧致超曲面

§4 极小超曲面的.Bernstein型定理

4.1关于第二基本形式的一个估计

4.2 稳定性不等式

4.3 Bet-nstein定理的推广

4.4 定理4.4的另一证明

§5 常平均曲率的完备超曲面

5.1 常平均曲率图

5.2 常平均曲率超曲面的曲率估计

5.3 具有有限全曲率的常平均曲率超曲面

§6 平均曲率流

6.1 平均曲率流方程

6.2 解的短时间存在性

6.3 度量和曲率的发展

6.4 紧致凸超曲面的收缩

§7 平均曲率流的奇性和凸性

7.1 平均曲率流的奇性

7.2 平均曲率流的凸性

7.3 关于σ2的估计

7.4 关于初等对称函数

7.5 定理7.4的证明

§8 关于Lawson—simons猜想

8.1 Lawson—Simons猜想

8.2 作为欧氏超曲面的紧致流形

8.3 定理8.1的证明

8.4 一般的黎曼流形

本章参考文献

第六章 Fiasler几何中的某些变分计算

§1 FiIlsler流形

1.1 Finsler流形

1.2 陈联络(Chern connection)

1.3 黎曼曲率

1.4 体积元

1.5 畸变与S曲率

1.6 复Finsler流形

§2 某些几何变分计算

2.1 散度公式

2.2 Einsteil卜Hilbert泛函

2.3 调和映射

2.3.1 第一变分

2.3.2 第二变分与Liouville型定理

2.4 极小浸入

2.5 复Finsler流形间的调和映射

2.5.1 第一变分

2.5.2 存在性

2.5.3 同伦不变性

本章参考文献

附录A 欧氏空间点集拓扑概要

附录B 曲面的拓扑分类

本书参考文献

索引

《整体微分几何初步(第3版)》是作者长期从事微分几何基础教学的产物，主要采用外微分形式和活动标架法，介绍欧氏空间曲线和曲面的某些整体性质。内容包括：E3中曲线和曲面的局部概论；活动标架法；曲线的整体微分几何；E3中曲面的整体微分几何；曲面的内蕴几何；高维欧氏空间的超曲面：Finsler几何中的某些变分计算。另有两个附录：欧氏空间点集拓扑概要；曲面的拓扑分类。书中介绍了整体微分几何的许多基本概念和方法技巧，既论述经典理论，也兼顾近代进展，并包含了丰富的微分几何参考文献，使读者在学完《整体微分几何初步(第3版)》后，能独立进行整体微分几何的某些研究。
　　《整体微分几何初步(第3版)》可作为高等院校数学系学生及研究生的教材，也可供数学和物理工作者参考。