数学分析习题课讲义

序

前言

第一章 引论

1.1 关于习题课教案的组织

1.2 书中常用记号

1.3 几个常用的初等不等式

1.3.1 几个初等不等式的证明（3）1.3.2 练习题（7）

1.4 逻辑符号与对偶法则

第二章 数列极限

2.1 数列极限的基本概念

2.1.1 基本定义（12）2.1.2 思考题（13）

2.1.3 适当放大法（14）2.1.4 例题（15）

2.1.5 练习题（17）

2.2 收敛数列的基本性质

2.2.1 思考题（18）2.2.2 例题（18）

2.2.3 判定数列发散的方法（21）2.2.4 练习题（25）

2.3 单调数列

2.3.1 例题（26）2.3.2 练习题（30）

2.4 cauchy命题与Stolz定理

2.4..1 基本命题（31）2.4.2 例题（35）2.4.3 练习题（37）

2.5 自然对数的底e和Euler常数7

2.5.1 与数e有关的两个问题（38）

2.5.2 关于e的基本结果（38）2.5.3 Euler常数y（43）

2.5.4 例题（44）2.5.5 练习题（45）

2.6 由迭代生成的数列

2.6.1 例题（46）2.6.2 单调性与几何方法（49）

2.6.3 练习题（52）

2.7 对于教学的建议

2.7.1 学习要点（53）2.7.2 补充例题（54）2.7.3 参考题（55）

第一组参考题（55）第二组参考题（57）

2.8 关于数列极限的一组习题课教案

2.8.1 第一次习题课（60）2.8.2 第二次习题课（62）

2.8.3 第三次习题课（63）2.8.4 第四次习题课（65）

第三章 实数系的基本定理

3.1 确界的概念和确界存在定理

3.1.1 基本内容（67）3.1.2 例题（67）3.1.3 练习题（69）

3.2 闭区间套定理

3.2.1 基本内容（70）3.2.2 例题（71）3.2.3 练习题（72）

3.3 凝聚定理

3.3.1 基本内容（73）3.3.2 例题（73）3.3.3 练习题（74）

3.4 Ca.uchy收敛准则

3.4.1 基本内容（74）3.4.2 基本命题（75）3.4.3 例题（76）

3.4.4 压缩映射原理（77）3.4.5 练习题（79）

3.5 覆盖定理

3.5.1 基本内容（80）3.5.2 例题（81）3.5.3 练习题（83）

3.6 数列的上极限和下极限

3.6.1 基本定义（83）3.6.2 基本性质（84）3.6.3 例题（88）

3.6.4 练习题（91）

3.7 对于教学的建议

3.7.1 学习要点（92）3.7.2 一题多解（93）3.7.3 参考题（95）

第一组参考题（95）第二组参考题（96）

第四章 函数极限

4.1 函数极限的定义

4.1.1 函数极限的基本类型（97）

4.1.2 函数极限的其他类型（98）4.1.3 思考题（98）

4.1.4 例题（99）4.1.5 练习题（102）

4.2 函数极限的基本性质

4.2.1 基本性质（103）4.2.2 基本命题（104）

4.2.3 思考题（107）4.2.4 例题（107）4.2.5 练习题（109）

4.3 两个重要极限

4.3.3 例题（112）4.3.4 练习题（114）

54.4 无穷小量、有界量、无穷大量和阶的比较

4.4.1 记号o，O与～（115）4.4.2 思考题（117）

4.4.3 等价量代换法（119）4.4.4 练习题（121）

54.5 对于教学的建议

4.5.1 学习要点（122）4.5.2 参考题（122）

第五章 连续函数

5.1 连续性概念

5.1.1 内容提要（124）5.1.2 思考题（125）

5.1.3 例题（125）5.1.4 练习题（128）

55.2 零点存在定理与介值定理

5.2.1 定理的证明（129）5.2.2 例题（132）

5.2.3 练习题（133）

5.3 有界性定理与最值定理

5.3.1 定理的证明（135）5.3.2 例题（136）

5.3.3 练习题（136）

5.4 一致连续性与Cantor定理

5.4.1 内容提要（137）5.4.2 思考题（138）

5.4.3 Cantor定理的证明（138）5.4 ,4例题（139）

5.4.5 练习题（142）

55.5 单调函数

5.5.1 基本性质（143）5.5.2 练习题（146）

5.6 周期3蕴涵混沌

5.6.1 动力系统的基本概念（147）

5.6.2 Li-Yorke的两个定理（148）

5.7 对于教学的建议

5.7.1 学习要点（152）5.7.2 参考题（153）

第一组参考题（153）第二组参考题（154）

第六章 导数与微分

56.1 导数及其计算

6.1.1 内容提要（157）6.1.2 思考题（158）

6.1.3 例题（159）6.1.4 练习题（166）

6.2 高阶导数及其他求导法则

6.2.1 高阶导数计算（167）6.2.2 隐函数求导法（171）

6.2.3 参数方程求导法（174）6.2.4 练习题（176）

6.3 一阶微分及其形式不变性

6.3.1 基本概念（177）6.3.2 微分与近似计算（177）

6.3.3 一阶微分的形式不变性（179）6.3.4 练习题（180）

6.4 对于教学的建议

6.4.1 学习要点（181）6.4.2 参考题（181）

第一组参考题（181）第二组参考题（183）

第七章 微分学的基本定理

7.1 微分学中值定理

7.1.1 基本定理（185）7.1.2 导函数的两个定理（193）

7.1.3 例题（196）7.1.4 练习题（200）

7.2 Taylor定理

7.2.1 基本定理（203）7.2.2 例题（209）

7.2.3 Euler数与Bernoulli数（214）7.2.4 练习题（218）

7.3 对于教学的建议

7.3.1 学习要点（220）7.3.2 参考题（221）

第一组参考题（221）第二组参考题（223）

第八章 微分学的应用

58.1 函数极限的计算

8.1.1 L'Hospital法则（226）

8.1.2 Taylor公式与极限计算（229）8.1.3 练习题（234）

8.2 函数的单调性

8.2.1 例题（235）8.2.2 练习题（238）

8.3 函数的极值与最值

8.3.1 例题（239）8.3.2 练习题（242）

58.4 函数的凸性

8.4.1 基本命题（243）8.4.2 练习题（249）

8.5 不等式

8.5.1 例题（250）8.5.2 用凸性证不等式（255）

8.5.3 练习题（258）

58.6 函数作图

8.6.1 例题（261）8.6.2 练习题（263）

8.7 方程求根与近似计算

8.7.1 迭代算法的收敛速度（264）

8.7.2 Newton求根法（268）8.7.3 练习题（272）

8.8 对于教学的建议

8.8.1 学习要点（272）8.8.2 参考题（274）

第一组参考题（274）第二组参考题（275）

第九章 不定积分

9.1 不定积分的计算方法

9.1.1 内容提要（278）9.1.2 思考题（278）

9.1.3 基本计算方法（279）9.1.4 例题（281）

……

第十章 定积分

第十一章 积分学的应用

第十二章 广义积分

《数学分析习题课讲义(上册)》是由高等教育出版社出版的。 《数学分析习题课讲义(上册)》是教育部“国家理科基地创建名牌课程项目”的研究成果，其目的是为数学分析的习题课教学提供一套具有创新特色的教材和参考书。《数学分析习题课讲义(上册)》以编著者们近20年来在数学分析及其习题课方面的教学经验为基础，吸取了国内外多种教材和研究性论著中的大量成果，非常注意经典教学内容中的思想、方法和技巧的开拓和延伸，在例题的讲解中强调启发式和逐步深入，在习题的选取中致力于对传统内容的更新、补充与层次化。《数学分析习题课讲义(上册)》分上下两册出版。上册内容为极限理论和一元微积分，下册内容为无穷级数和多元微积分。《数学分析习题课讲义(上册)》可作为高等院校理工科教师和学生在数学分析习题课方面的教材或参考书，也可以作为研究生入学考试和其他人员的数学分析辅导书。