离散数学及算法

前言

第一篇计算机科学中的离散结构

第1章命题逻辑

1.1引言

1.2命题及命题逻辑联结词

1.2.1命题

1.2.2逻辑联结词

1.3命题变元和合式的公式

1.4重言式(或永真式)和永真蕴涵式

1.4.1有关重言式的讨论

1.4.2重言式与恒等式

1.4.3永真蕴涵式的定义和常用永真蕴涵式

1.4.4代入规则和替换规则

1.5对偶原理

1.6范式和判定问题

1.6.1析取范式和合取范式

1.6.2主析取范式和主合取范式

1.7命题演算的推理理论

小结

第2章谓词逻辑

2.1谓词演算

2.1.1谓词和量词

2.1.2谓词和个体

2.1.3量词

2.1.4合式公式

2.1.5自由变元和约束变元

2.1.6谓词公式的解释

2.1.7含有量词的等价式和永真蕴涵式

2.2谓词逻辑中的推理理论

2.2.1谓词公式的翻译

2.2.2推理规则

2.3谓词公式的范式

2.3.1前束范式

2.3.2斯柯林范式

小结

第3章集合论

3.1集合的概念及其表示

3.2集合的运算

3.3集合定律

3.4包含排斥原理

3.5多重序元与笛卡儿乘积

3.5.1序偶和多重序元

3.5.2笛卡儿乘积

小结

第4章二元关系

4.1关系的基本概念

4.2关系的性质

4.3关系的表示

4.4关系的运算

4.4.1关系的合成

4.4.2合成关系的矩阵表达和图解

4.4.3关系的求逆运算

4.4.4关系的闭包运算

4.5特殊关系

4.5.1集合的划分和覆盖

4.5.2等价关系

4.5.3相容关系

4.5.4次序关系

4.5.5偏序集合与哈斯图

小结

第5章函数

5.1函数的基本概念和性质

5.2函数的合成与合成函数的性质

5.3特殊函数

5.4反函数

5.5特征函数

5.6基数

5.7二元运算

小结

第6章代数系统

6.1代数系统的一般概念

6.2同态与同构

6.3同余关系

6.4商代数和积代数

6.5典型代数系统

小结

第7章图论

7.1图的基本概念

7.2子图和图的运算

7.3路径、回路和连通性

7.4图的矩阵表示

7.4.1邻接矩阵

7.4.2可达性矩阵

7.5欧拉图

7.6特殊图

7.6.1二部图

7.6.2平面图

7.7树

7.8网络

7.8.1网络流与最大流

7.8.2割集

7.8.3标号法

7.8.4开关网络

小结

第二篇离散数学中的算法

第8章数理逻辑中的算法

8.1逻辑联结词的定义方法

8.2合式公式的表示方法

8.3构造任意合式公式的真值表

第9章集合论中的算法

9.1求并集

9.2求交集

9.3求差集

9.4求笛卡儿乘积

第10章关系中的算法

10.1判断关系R是否为自反关系及对称关系

10.2判断关系R是否为可传递关系

10.3判断关系R是否为等价关系

10.4求等价类

10.5求极大相容类

10.6关系的合成运算

10.7关系的闭包运算(1)

10.8关系的闭包运算(2)

10.9m个字符串按字典顺序分类算法

第11章函数中的算法

第12章代数系统中的算法

12.1判断是否为代数系统的算法

12.2判断是否为同余关系

12.3判断是否为群的算法

第13章图论中的算法

13.1道路矩阵的Warshall算法

13.2二叉树的遍历

13.3构造最优二叉树算法

13.4最小生成树的：Kruskal算法

13.5求最短距离的Dijkstra算法

13.6判别连通性的算法

附录考研例题解析

参考文献

　　离散数学不仅是计算机科学基础理论的核心课程，也是人工智能的数学基础之一。本书共分为两大部分，第一部分介绍离散数学的基本理论，共分七章，分别是命题逻辑、谓词逻辑、集合论、关系、函数、代数系统和图论。第二部分给出离散数学中涉及的主要算法的程序实现，使学习者在学习基本理论、建立抽象思维能力和逻辑思维能力的同时，有一个与实践结合的平台，使理论落到实处，同时对提高学习者的程序设计能力也有一定帮助。　　本书主要介绍离散数学的基本理论及算法实现，分为两大部分，第一部分介绍计算机科学中广泛应用的离散结构基本概念和基本原理，包括以下内容：数理逻辑、集合论、二元关系、函数、代数系统和图论。第二部分给出了与各章内容密切相关的算法和程序，使理论在计算机上得到具体实现。附录部分给出了近年来考研试题的分析。　　本书条理清晰，阐述深入浅出，适合作为高等学校计算机及相关专业离散数学课程的本科生教材，也可供计算机科学工作者和科技人员阅读与参考。