理论物理学中的近似方法

第1章 定态微扰理论

1.1 方法的陈述

1.1.1 问题的提出

1.1.2 H（λ）本征方程的近似解

1.2 非简并态的微扰理论

1.2.1 一级近似

1.2.2 二级近似

1.3 谐振子能量和本征态的微扰修正

1.3.1 线性微扰Hamilton量

1.3.2 二次型微扰Hamilton量

1.3.3 x3型微扰Hamilton量

1.4 Bohr氢原子理论的扩充

1.4.1 Sommerfeld的氢原子能量公式

1.4.2 微扰理论的计算

1.5 原子的感应电偶极矩电极化率

1.5.1 微扰Hamilton量H（1）

1.5.2 一级能量修正

1.5.3 二级能量修正

1.5.4 电介质的极化率

1.6 氦原子或类氦离子的基态

1.7 简并体系的微扰理论

1.7.1 零级波函数

1.7.2 一级微扰修正

1.7.3 几点讨论

1.8 应用举例

1.8.1 氢原子的Stark效应

1.8.2 两原子问Van der Waals力的模型

1.8.3 周期势场中的电子运动

1.9 微扰理论的适用条件

第2章 量子理论的经典近似与WKB方法

2.1 光学类比的启示

2.2 经典极限h→0

2.3 Ehrenfest定理

2.3.1 Poisson括号

2.3.2 Ehrenfest定理

2.4 Schrodinger方程的经典极限

2.5 WKB指数近似

2.5.1 WKB展开

2.5.2 WKB近似的适用条件

2.6 匹配渐近近似

2.6.1 远离拐点

2.6.2 连接公式

2.7 Bohr-Sommerfeld量子化定则

2.7.1 量子化定则

2.7.2 归一化波函数

2.7.3 WKB的本征能量

2.7.4 WKB近似下力学量的矩阵元

2.8 势垒贯穿

2.8.1 右行和左行波

2.8.2 势垒贯穿的wKB描述

2.8.3 金属中电子的逸出

2.8.4 接触电势差

2.8.5 原子核的a-衰变

2.9 辏力场中的准经典近似

2.9.1 波函数角部的准经典近似

2.9.2 径向波函数的准经典近似

2.9.3 WKB相移

2.10 原子的Thomas—Fermi分布

2.10.1 原子中的电荷分布

2.10.2 Thomas—Fermi方程

2.10.3 原子半径

第3章 变分法

3.1 变分原理

3.1.1 泛函和泛函的变分

3.1.2 Euler—Lagrange方程

3.1.3 变分原理和Schrodinger方程

3.1.4 最低能量原理

3.2 试探波函数

3.2.1 几个变分计算的例子

3.2.2 激发态的变分原理

3.2.3 能量本征值上下限的同时确定

3.3 Rayleigh—Ritz变分法

3.4 线性组合变分法

3.5 标度变分方法

3.5.1 维里定理

3.5.2 标度变换和标度变分

3.6 计算举例

3.6.1 氢分子离子H2+

3.6.2 氢原子的变分处理

3.6.3 氦原子和类氦离子的变分处理

3.7 散射问题的变分方法

3.7.1 Hulthen—Kohn变分原理

3.7.2 Schwinger变分原理

3.7.3 散射振幅的变分原理

3.8 变分法与微扰论

第4章 含时问题的近似方法（非协变理论）

4.1 常数变更法

4.2 常微扰

4.2.1 末态属于连续谱的情形

4.2.2 Fermi黄金规则

4.2.3 二级微扰

4.2.4 散射截面的Born一级近似公式

例一 电子原子核的弹性散射

例二 口衰变的Fermi理论

4.3 周期性微扰

4.3.1 平面电磁波对原子的微扰

4.3.2 电偶极跃迁

4.3.3 光电效应

4.4 关于长时间微扰的近似法

4.4.1 在共振微扰作甩下系统在两分立态间的振荡 久期近似

4.4.2 与末态连续区耦合的分立态的衰变Wigner-Weissskopf近似

4.5 突发微扰

4.5.1 在口衰变中原子的电离

4.5.2 在核反应过程中原子的电离

4.6 绝热微扰

4.6.1 原子电子被质子俘获（电荷交换）

4.6.2 在旋转磁场中的自旋1/2粒子

4.7 光的辐射与散射

4.7.1 电磁场的量子化

4.7.2 光的发射与吸收

4.7.3 光的自发发射

4.7.4 光的散射

4.8 原子核的γ跃迁和Coulomb激发

4.8.1 辐射场的多极展开

4.8.2 跃迁几率

4.8.3 内转换

4.8.4 子核Coubornb激发的半经典理论

4.9 在周期微扰下原子系统的线性和非线性响应

4.9.1 原子感生电偶极矩

4.9.2 在正弦微扰下双能级系统的线性和非线性响应

第5章 协变微扰论

5.1 基本公式

5.1.1 相互作用表象

5.1.2 演化算符的微扰展开

5.1.3 S矩阵

5.1.4 与非协变扰论的比较

5.2 跃迁几率

5.2.1 基本方程

5.2.2 运动学因子

5.2.3 a+b一d+e型过程的截面

5.2.4 对极化态求和

附 γ矩阵乘积的求积定理

5.3 Feyman图

5.3.1 时序乘积分解为正规乘积，wick定理

5.3.2 正规乘积的图形表示

5.3.3 S矩阵元

5.3.4 Feynman图的一般规则

5.4 电子散射

5.4.1 电子的Coulomb散射

5.4.2 电子被质子散射

5.4.3 核子的电磁形状因子

5.4.4 Mo1ler散射

5.5 电子与光子相互作用

5.5.1 （20mpton散射

5.5.2 轫致辐射

5.5.3 软光子的辐射

5.6 两个电荷的推迟相互作用-Breit方程

5.6.1 准确到专级的两带电粒子相互作用

5.6.2 非相对论简化

5.7 核力的介子理论

5.7.1 核力的介子理论

5.7. 2单介子交换势

5.8 卢衰变

5.8.1 Lagrange密度和S矩阵元

5.8.2 非相对论近似

5.8.3 非极化核衰变

5.8.4 V-A耦合

5.8.5 弱作用流与耦合常数

第6章 多体互作用系统的平均场理论

6.1 连续相变

6.1.1 相变的分类

6.1.2 连续相变

6.1.3 序参量

6.1.4 临界指数

6.2 Landau二级相变理论

6.2.1 Landau二级相变理论

6.2.2 铁磁一顺磁相变的临界指数

6.3 Van der Waals方程

6.3.1 气-液相变与临界点

6.3.2 Van der Waals方程及其约化形式

6.3.3 Van der Waals方程的临界指数

6.4 Weiss平均场理论

6.4.1 正则系综的统计热力学公式

6.4.2 顺磁体的Curie定律

6.4.3 weiss平均场近似，Curie—weiss定律

6.5 Ising模型，Bragg—Williams近似

6.5.1 Ising模型

6.5.2 weiss平均场近似

6.5.3 Bragg—WiIliams近似

6.6 Ising模型，Bethe近似

6.6.1 自旋集团的配分函数

6.6.2 自发磁化和临界温度

6.6.3 近邻自旋间的短程关联

6.6.4 Bethe近似下的位形能和比热

6.7 一维和二维Ising模型的严格解

6.7.1 一维Ising点阵的严格解

6.7.2 二维Ising模型的Onsager解（结果摘要）

6.8 Hartree—Fock自洽场近似

6.8.1 Fock方程

6.8.2 Hartree方程

附 录

附录A Hermite多项式

附录B 几个特殊函数和有关公式

附录C Airy函数

附录D 电动力学中的单位制

附录E Dirac方程

附录F 热力学公式（结果摘要）

附录G 几个积分公式

《理论物理学中的近似方法》综合地介绍了在量子力学、量子场论和统计力学中几种典型的、较普遍和有效的近似方法，包括微扰论、准经典近似、变分法和平均场理论。各种近似方法都有其优缺点和适用范围，人们可根据所研究问题的要求和特性来采用最恰当的方法。