数列与数学归纳法

前言

第一讲数到／1

§1.1数列的定义／1

§1.2通项与递推关系／5

§1.3数列的性质／11

第二讲等差数列／18

§2.1定义与通项／18

§2.2前n项的和／25

第三讲等比数列／31

§3.1定义与通项／31

§3.2前n项的和／38

§3.3无穷递缩等比数列／43

第四讲数列的和／50

阅读材料前n个自然数的幂和／57

第五讲数学归纳法／61

§5.1归纳与演绎／61

§5.2归纳法的应用／67

§5.3归纳法的其他形式／73

阅读材料无穷递降法／82

§5.4数列与归纳法／86

§5.5不等式与归纳法／93

阅读材料平均值不等式／104

第六讲数列问题举隅(一)／111

第七讲高阶等差数列／131

§7.1高阶等差数列的通项／131

§7.2高阶等差数列的和／137

阅读材料差分算子△／142

第八讲递推数列／146

§8.1递推数列／146

§8.2斐波那契数列／153

§8.3线性递推数列／161

§8.4周期数列／171

第九讲数列问题举隅(二)／181

第十讲数学归纳法的应用／200

§10.1数论中的归纳法／200

§10.2组合数学中的归纳法／208

§10.3图论中的归纳法／217

参考答案及提示／229

　　数列是重要的数学内容，数学归纳法是重要的数学方法。它们是离散与连续间的纽带，初等与高等间的桥梁。希望通过对它们的介绍，能使读者了解数学，感受数学，进而喜爱数学，发现数学。本书共有十讲。前六讲大致在中学课程的内容上略作延伸，可用作高考的准备。后四讲为课外内容，可用以应对竞赛。但本书决不只是为了考试、竞赛而写，我们的目的是普及数学，传播数学。数学是思维的科学。因此本书的重点放在培养思维能力上，希望和广大读者一同来学数学、做数学。由简单、具体的例子入手，发现或猜出结果，并进而用严谨的推理证明或推翻自己的猜想。为了做数学，书中提供了大量的习题，供读者选用。习题均有我们所拟的解答，供作参考。阅读能力也很重要。因此，除了正文之外，本书还拟了4篇阅读材料，供读者选读。【作者简介】　　单墫，我国著名的数学传播普及和数学竞赛专家，1964年毕业于扬州师范学院数学系，在中学、大学任教40多年，1983年获理学博士学位(我国首批18名博士之一)，1991年获全国优秀教师称号，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年被评为国家有突出贡献的巾青年专家，1995年被评为省“优秀学科带头人”，曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，南京市数学学会理事长，主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平，1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参IMO均获总分第一，为我国数学竞赛事业作出很大贡献。