概率论与数理统计

第l章 随机事件及其概率

1.1 随机试验、随机事件及样本空间

1.1.1 随机现象与统计规律性

1.1.2 随机试验

1.1.3 样本空间与随机事件

1.1.4 事件问的关系及运算

1.2 概率的定义及性质

1.2.1 概率的统计定义

1.2.2 概率的古典定义

1.2.3 概率的几何定义

1.2.4 概率的公理化定义

1.3 条件概率

1.3.1 条件概率的定义及性质

1.3.2 概率乘法公式

1.3.3 全概率公式与贝叶斯公式

1.4 独立性

1.4.1 两事件的独立性

1.4.2 多个事件的独立性

1.4.3 独立性的概念在计算概率中的应用

1.4.4 n重伯努利试验

1.5 综合例题

1.6 历史注记：概率论的起源与发展概览

1.6.1 概率论前史

1.6.2 概率论的创立及早期发展

1.6.3 分析概率论的建立与发展

1.6.4 公理化体系的构建及现代概率论的发展

习题1

第2章 随机变量及其分布

2.1 随机变量及其分布函数

2.1.1 随机变量的概念

2.1.2 随机变量的分布函数

2.2 离散型随机变量及其分布

2.2.1 离散型随机变量及其分布律

2.2.2 三种常用离散型随机变量的分布

2.2.3 二项分布的泊松近似

2.3 连续型随机变量及其概率密度

2.3.1 连续型随机变量及其概率密度

2.3.2 三种重要的连续型分布

2.4 随机变量函数的分布

2.4.1 问题的提出

2.4.2 离散型随机变量函数的分布

2.4.3 连续型随机变量函数的分布

2.5 综合例题

2.6 历史注记：二项分布

2.6.1 雅各布·伯努利与二项概率公式

2.6.2 棣莫弗与二项概率的正态逼近

2.6.3 自松逼近与泊松分布

习题2

第3章 多维随机变量及其分布

3.1 多维随机变量及其分布

3.1.1 多维随机变量及其分布函数

3.1.2 二离散型随机变量及其分布律

3.1.3 二连续型随机变量及其概率密度

3.2 边缘分布

3.2.1 边缘分布函数

3.2.2 边缘分布律

3.2.3 边缘概率密度

3.3 条件分布

3.3.1 条件分布函数

3.3.2 离散型随机变量的条件分布

3.3.3 连续型随机变量的条件分布

3.4 随机变量的独立性

3.4.1 两个随机变量的独立性

3.4.2 多个随机变量的独立性

3.4.3 多维随机变量的独立性

3.5 两个随机变量的函数的分布

3.5.1 两个离散型随机变量的函数的分布

3.5.2 连续型随机变量函数的分布

3.5.3 二维随机变量交换的分布定理

3.6 综合例题

3.7 历史注记。蒙蒂·霍尔问题及其他

3.7.1 泉蒂·霍尔问题

3.7.Z监狱看守悖论

3.7.3 辛普森悖论

3.7.4 启示

习题3

第4章 随机变量的数字特征

4.1 数学期望

4.1.1 离散型随机变量的数学期望

4.1.2 连续型随机变量的数学期望

4.1.3 随机变量函数的数学期望

4.1.4 数学期望的性质

4.2 随机变量的方差

4.2.1 方差

4.2.2 切比雪夫不等式

4.3 协方差与相关系数

4.3.1 问题的提出

4.3.2 定义

4.3.3 协方差的性质与计算

4.3.4 相关系数的性质及意义

4.4 矩、协方差矩阵

4.4.1 矩

4.4.2 协方差矩阵

4.5 综合例题

4.5 历史注记：从“分赌本问题”到数字特征

4.5.1 早期分赌本问题

4.5.2 德·梅耶的问题及帕斯卡与费马的解答

4.5.3 “分赌本问题”与数学期望

4.5.4 其他数字特征的引入

习题4

第5章 大数定律与中心极限定理

5.1 大数定律

5.1.1 大数定律的概念

5.1.2 切比雪夫大数定律

5.1.3 伯努利大数定律

5.1.4 马尔可夫大数定律和辛钦大数定律

5.2 中心极限定理

5.2.1 中心极限定理的背景及研究思路

5.2.2 几个基本的中心极限定理

5.3 综合例题

5.4 历史注记：俄苏数学学派与极限定理研究的突破

5.4.1 彼得堡数学学派

5.4.2 莫斯科数学学派

习题5

第6章 数理统计的基础知识

6.1 总体与样本

6.1.1 总体与总体分布

6.1.2 样本与样本分布

6.2 样本函数与统计量

6.2.1 样本函数

6.2.2 统计量的定义

6.2.3 常用统计量

6.3 三个常用的统计分布

6.3.1 x分布

6.3.2 t分布

6.3.3 F分布

6.4 正态总体的抽样分布定理

6.4.1 单正态总体的抽样分布

6.4.2 双正态总体的抽样分布

6.5 综合例题

6.6 历史注记：数理统计学发展概要

6.6.1 数理统计学的萌芽

6.6.2 数理统计学的确立和成熟

6.6.3 数理统计学发展的新阶段

习题6

第7章 参数估计

7.1 参数的点估计

7.1.1 问题的提出

7.1.2 矩估计法

7.1.3 极大似然估计法

7.2 评判估计量优劣的标准

7.3 区间估计概述

7.3.1 区间估计的概念

7.3.2 枢轴量法

7.4 正态总体参数的区间估计

7.4.1 单个正态总体参数的区间估计

7.4.2 两个正态总体均值差与方差比的区间估计

7.5 非正态总体参数的区间估计举例

7.6 单侧置信限

7.7 综合例题

7.8 历史注记：K·皮尔逊与戈赛特

7.8.1 K·皮尔逊：大样本理论的一代宗师

7.8.2 戈赛特：小样本统计的先驱

习题7

第8章 假设检验

8.1 假设检验的基本概念

8.1.1 统计假设和假设检验

8.1.2 假设检验的基本思想与推理方法

8.1.3 双侧假设检验与单侧假设检验

8.1.4 假设检验的一般步骤

8.1.5 假设检验可能犯的两类错误

8.2 单个正态总体参数的假设检验

8.2.1 关于正态总体均值u的假设检验

8.2.2 关于正态总体方差的假设检验

8.3 两个正态总体参数的假设检验

8.3.1 关于两个正态总体均值差的假设检验

8.3.2 关于两个正态总体方差与的假设检验(F检验法)

8.4 非正态总体参数的假设检验举例

8.5 总体分布的拟合优度检验

8.6 综合例题

8.7 历史注记：费歇尔

8.7.1 生平简介

8.7.2 对数理统计的主要贡献

习题8

第9章 方差分析

9.1 单因素试验的方差分析

9.1.1 方差分析概述

9.1.2 单因素试验的方差分析

9.2 双因素试验的方差分析

9.2.1 双因素无重复试验的方差分析

9.2.2 双因素等重复试验的方差分析

9.3 综合例题

9.4 历史注记：E·S·皮尔逊与奈曼

9.4.1 E·S·皮尔逊：继承与背叛

9.4.2 奈曼：更多的数学

9.4.3 不朽的合作：“准哥白尼革命

习题9

第10章 回归分析

10.1 一元线性回归

10.1.1 回归分析的基本概念

10.1.2 一元回归分析与最小二乘法

10.1.3 一元线性回归模型与未知参数的估计

10.1.4 回归方程的显著性检验

10.1.5 利用线性回归方程预测和控制

10.1.6 非线性回归

10.2 多元线性回归分析

10.3 综合例题

10.4 历史注记：高尔顿与埃奇沃思

10.4.1 高尔顿：创新的思想家

10.4.2 埃奇沃思：思想周密的理论家

习题10

习题答案

附录

参考文献

《概率论与数理统计：理论、历史及应用》“概率论与数理统计”是从数量侧面研究随机现象（不确定性现象）规律性的学科，是高等院校许多专业本科学生的一门重要基础课。当今许多重要学科，如信息论、控制论、可靠性理论和人工智能都以它为基础，概率统计方法与其他学科相结合已经发展出许多边缘学科，如生物统计、统计物理、数学地质、数理经济等。