数学思想方法通论

前言

第1章 引语：认识数学思想方法

1.1 数学方法论概述

1.2 数学思想方法

1.2.1 数学思想与数学方法

1.2.2 数学思想方法与数学教育

第2章 化归：数学家的求解模式

2.1 化归的基本思想

2.1.1 化归的思想实质

2.1.2 化归的普遍意义

2.1.3 化归与联想

2.2 化归策略（一）

2.2.1 映射法

2.2.2 构造法

2.2.3 一般化与特殊化

2.2.4 等价化与强化

2.3 化归策略（二）

2.3.1 重组法

2.3.2 分治法

2.3.3 逆变法

2.3.4 递进（退）法

第3章 抽象：数学物的创造法则

3.1 数学的抽象性

3.1.1 抽象性——数学的本质特点

3.1.2 数学抽象的特殊性

3.1.3 数学抽象的客观基础

3.2 数学抽象的方法

3.2.1 对数学抽象方法的辩证认识

3.2.2 数学抽象的基本形式

3.2.3 数学抽象的基本原则

3.3 数学抽象定义赏析

3.3.1 函数与运算

3.3.2 数的抽象构造

3.3.3 动力系统

3.3.4 图灵机

第4章 公理化：数学理论的“建筑师”

4.1 数学公理化的思想

4.1.1 数学公理化方法的历史演进过程

4.1.2 数学公理化方法的作用和影响

4.2 数学公理化方法的基本问题

4.2.1 实质公理化方法与形式公理化方法

4.2.2 数学公理化方法的逻辑特征

4.3 几个重要的公理体系

4.3.1 欧几里得几何公理体系

4.3.2 希尔伯特几何公理体系

4.3.3 实数公理体系

4.3.4 ZF集合论公理系统

4.4 形式系统简说

4.4.1 形式语言

4.4.2 形式语言的语义

4.4.3 形式语言的推理系统

4.4.4 证明与定理

4.4.5 推演

第5章 合情推理：数学猜想的逻辑引擎

5.1 合情推理的界定

5.1.1 合情推理的内涵

5.1.2 合情推理与演绎推理的关系

5.2 归纳推理与类比推理例说

5.2.1 归纳推理

5.2.2 类比推理

5.2.3 归纳推理与类比推理的关系

5.3 合情推理模式

5.3.1 合情推理基本模式

5.3.2 合情推理模式的修正与扩充

5.3.3 两个例子

第6章 算法：数学发展的机械化之路

6.1 算法的基本思想

6.1.1 算法的概念

6.1.2 数学发展史上的算法思想

6.2 算法设计的一般方法

6.2.1 穷举法

6.2.2 回溯法

6.2.3 贪心法

6.2.4 递归法

6.2.5 递推法

6.3 算法理论的发展

6.3.1 可计算性理论

6.3.2 算法复杂性理论

第7章 展望：从数学思想方法走向数学观念

7.1 数学观念的内涵

7.2 作为教育任务的数学观念

参考文献

数学教育的根本目的在于提升数学素养。《数学思想方法通论》紧紧抓住数学学科的特点，通过提炼和挖掘，对隐藏在数学知识之中最基本、最具广泛性和包摄性的数学思想方法进行了多角度、深层次的介绍，力求能体现数学的精神与态度、观点与文化。所选取的主要内容包括化归、抽象、公理化、合情推理、算法等。全书在编写思想上，一方面注重教学内容的系统性，以适应教师课堂讲授，另一方面也尽可能提供详尽、丰富的材料，以备学生自学或课堂讨论。
　　《数学思想方法通论》主要用作高等师范院校“数学方法论”或“数学思想方法”课程的教材，也可供一般数学工作者特别是广大的中学数学教师参考。