数学分析方法选讲

第1章 分析证明中的几种常用处理方法与技巧

1.1 截断

习题1.1

1.2 叠加

习题1.2

1.3 局部化方法

习题1.3

1.4 借助辅助函数

习题1.4

1.5 离散型问题与连续型问题的相互转换

习题1.5

1.6 ε逼迫方法

习题1.6

1.7 借助于构造点列和抽取子列

习题1.7

1.8 关于利用实数空间基本定理证明问题的几点注释

1.8.1 有理数集的性质

1.8.2 实数集的性质

1.8.3 关于利用实数空间基本定理证明问题的几点注释

习题1.8

第2章 Abel方法

2.1 Abel变换与Abel引理

习题2.1

2.2 Abel方法在级数收敛性判别中的应用

2.2.1 数项级数收敛性的判别法.

2.2.2 函数项级数一致收敛性判别法

习题2.2.

2.3 Abel方法在广义积分收敛性判别中的应用

2.3.1 分部积分公式与积分第二中值定理

2.3.2 无穷限广义积分收敛性的Abel判别法与Dmchlet判别法

2.3.3 带参变量广义积分一致收敛性的Abel判别法与Dirichlet判别法

习题2.3

2.4 Abel级数求和法

习题2.4

2.5 差分的概念及简单应用

习题2.5

第3章 不等式与估值问题

3.1 不等式的初等证法

习题3.1

3.2 证明不等式的凸函数方法

3.2.1 凸函数的定义及基本性质

3.2.2 证明不等式的凸函数方法

习题3.2

3.3 利用微分学证明不等式

习题3.3

3.4 利用积分学证明不等式

习题3.4

3.5 估值问题

习题3.5

第4章 几种运算次序的交换性

4.1 一致收敛性

4.1.1 函数项级数的一致收敛性

4.1.2 含参变量积分的一致收敛性

习题4.1

4.2 运算次序的交换性

4.2.1 求和与其他运算的可换性

4.2.2 积分与其他运算次序的可换性

习题4.2

第5章 阶的估计及应用

5.1 阶的定义及运算

5.1.1 无穷小量与无穷大量的阶的定义

5.1.2 阶的性质和运算

习题5.1

5.2 阶的估计

5.2.1 函数的Taylor展开式

5.2.2 阶与主部的求法

习题5.2

5.3 阶的应用

5.3.1 利用阶计算极限

5.3.2 阶的估计在级数与广义积分收敛性中的应用

习题5.3

第6章 极限的存在性与求值问题

6.1 关于极限定义的若干注释

6.1.1 关于过程的刻画和变量的刻画

6.1.2 关于变量不存在极限的描述

6.1.3 变量趋于无穷大的情形

习题6.1

6.2 关于极限的存在性

习题6.2

6.3 极限的求值

6.3.1 利用定义和两边夹原理求极限

6.3.2 利用Stolz定理和L'Hospital法则求极限

6.3.3 建立以极限值为变元的方程求极限

6.3.4 利用积分和求极限

6.3.5 利用Reimann引理求极限

6.3.6 利用Toeplitz定理求极限

6.3.7 求极限的其他方法

习题6.3

附录I Peano曲线

附录II 关于e的超越性

主要参考书目

《数学分析方法选讲》共分6章。第1章主要阐述分析证明中的一些最常见的基本处理方法与技巧。根据教学上的考虑和作者自己的体会，把这些常用的处理方法适当命名后止式地予以提出，作者认为这样做有利于学生加深对方法本身的理解。第2章是Abel方法及应用简介。在第3章不等式与估值问题部分中，作者利用幂平均函数对各种平均值不等式统一进行了处理。考虑到交换运算次序在级数求和及积分计算中的重要性，作者在第4章对它进行了一些讨论，并给出了判断级数和积分不一致收敛的比较简单并且使用方便的方法。第5章简略地介绍了阶的估计及其在极限计算和级数与积分收敛性中的应用。第6章用较多的例题介绍极限存在性问题的证法和各种极限的求值方法。各章的内容都有较大的独立性，因此读者在阅读时可根据自己的需要加以选择。