常微分方程

第一章 基本概念

§1.1 定义和例子

1.1.1 方程和解

1.1.2 通解

1.1.3 初值问题

1.1.4 曲线族

习题1.1

§1.2 几何解释

习题1.2

第二章 初等积分法

§2.1 变量分离方程

习题2.1

§2.2 齐次方程

习题2.2

§2.3 一阶线性方程

2.3.1 一阶齐次线性微分方程的通解

2.3.2 一阶非齐次线性微分方程的通解——常数变易法

2.3.3 解的性质

2.3.4 例子

2.3.5 不连续输入的情形

习题2.3

§2.4 Bernoulli方程和Riccati方程

2.4.1 Bernoulli方程

2.4.2 Riccati方程

习题2.4

§2.5 恰当方程及积分因子法

2.5.1 恰当方程

2.5.2 积分因子法

2.5.3 分组求积分因子法

习题2.5

§2.6 隐式微分方程

2.6.1 可解出y（或x）的方程——微分法

2.6.2 不显含x（或y）的方程——参数法

2.6.3 一般情形——参数法

习题2.6

§2.7 可降阶的高阶方程

习题2.7

§2.8 应用举例

习题2.8

第三章 线性微分方程组

§3.1 矩阵分析初步

3.1.1 向量和矩阵的范数

3.1.2 向量和矩阵序列的极限

3.1.3 矩阵函数及其连续、导数和积分

3.1.4 矩阵函数序列和级数

习题3.1

§3.2 一般理论

3.2.1 存在和唯一性定理

3.2.2 齐次线性微分方程组

3.2.3 非齐次线性微分方程组

习题3.2

§3.3 常系数线性微分方程组

3.3.1 矩阵指数函数的定义和性质

3.3.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵

3.3.3 矩阵指数函数的求法

3.3.4 基解矩阵的求法

3.3.5 不变子空间

习题3.3

第四章 高阶线性微分方程

§4.1 一般理论

4.1.1 存在和唯一性定理

4.1.2 高阶线性微分方程的一般理论

习题4.1

§4.2 常系数高阶线性微分方程

4.2.1 常系数齐次线性微分方程

4.2.2 非齐次线性方程——待定系数法

4.2.3 Euler方程

4.2.4 Laplace变换法

习题4.2

§4.3 幂级数解法

4.3.1 常点情形——幂级数解法

4.3.2 奇点情形——广义幂级数解法

4.3.3 变换法——求变系数线性微分方程的有限形式解

习题4.3

§4.4 边值问题

4.4.1 Sturm比较定理

4.4.2 二阶线性微分方程边值问题的特征值

习题4.4

第五章 微分方程的基本定理

§5.1 Picard存在和唯一性定理

5.1.1 Picard存在和唯一性定理

5.1.2 存在和唯一性的进一步讨论

习题5.1

§5.2 Peano存在性定理的证明

习题5.2

§5.3 解不唯一的情形——奇解

5.3.1 奇解

5.3.2 包络

习题5.3

§5.4 解的延伸

习题5.4

§5.5 解对初值与参数的连续依赖性

习题5.5

§5.6 解对初值和参数的可微性

习题5.6

第六章 定性理论初步

§6.1 动力系统概念

习题6.1

§6.2 Lyapunov稳定性

6.2.1 稳定性定义

6.2.2 按线性近似判别稳定性

6.2.3 Lyapunov直接方法

6.2.4 一维动力系统

习题6.2

§6.3 平面动力系统

6.3.1 奇点

6.3.2 极限环

6.3.3 一个例子——摆方程

习题6.3

第七章 一阶偏微分方程

§7.1 基本概念

习题7.1

§7.2 首次积分

习题7.2

§7.3 一阶拟线性偏微分方程的Cauchy问题

习题7.3

§7.4 一阶拟线性偏微分方程的通解

习题7.4

部分习题答案及提示

参考文献

《高等学校教材：常微分方程》详细介绍了常微分方程的基本解法和基本理论，其内容符合高等学校数学专业常微分方程课程大纲的要求，共由七章组成，包括基本概念，初等积分法，线性微分方程组，高阶线性微分方程，微分方程的基本定理，定性理论初步，一阶偏微分方程。书中提供了较多的例题，并在各章节之后按基础和提高要求配备了一定数量的习题。

微分方程与微积分同时产生并在许多学科中有非常重要的应用，如物理、力学、机械、电信、化工、生物、经济等学科中有些重要的现象是用微分方程描述的，研究和解决这些实际问题，就需要求解和研究微分方程。微分方程在数学学科的发展中也具有非常重要的地位，它是许多数学分支产生的动力。