现代数值计算方法

第一章 数值计算中的误差分析

§1 数值计算的对象、任务与特点

§2 误差与数值计算的误差估计

一、误差的来源与分类

二、误差与有效数字

三、数值计算的误差估计

§3 选用和设计算法时应遵循的原则

一、选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播

二、尽量简化计算步骤以便减少运算次数

三、尽量避免两个相近的数相减

四、绝对值太小的数不宜作除数

五、合理安排运算顺序，防止大数“吃掉”小数

本章小结

算法与程序设计实例

思考题

第一章  数值计算中的误差分析

§1 数值计算的对象、任务与特点

§2 误差与数值计算的误差估计

一、误差的来源与分类

二、误差与有效数字

三、数值计算的误差估计

§3 选用和设计算法时应遵循的原则

一、选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播

二、尽量简化计算步骤以便减少运算次数

三、尽量避免两个相近的数相减

四、绝对值太小的数不宜作除数

五、合理安排运算顺序，防止大数“吃掉”小数

本章小结

算法与程序设计实例

思考题

习题一

第二章  线性方程组的数值解法

§1 线性方程组的直接解法

一、高斯（Gauss）列主元消去法

二、高斯全主元消去法

三、选主元素消去法的应用

四、矩阵的三角分解

五、平方根法及改进的平方根法

六、追赶法

七、列主元三角分解法

§2 线性方程组的迭代解法

一、雅可比（Jacobi）迭代法

二、高斯一塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法

三、逐次超松弛（SOR）迭代法

§3 迭代法的收敛性

一、向量范数与矩阵范数

二、迭代法的收敛性

本章小结

算法与程序设计实例

思考题

习题二

第三章  非线性方程的数值解法

§1 根的搜索与二分法

一、根的搜索

二、二分法

§2 迭代法及其迭代收敛的加速方法

一、迭代法

二、迭代收敛的加速方法

§3 牛顿（Newton）迭代法

一、牛顿迭代法

二、迭代法的收敛阶

§4 弦截法

本章小结

算法与程序设计实例

思考题

习题三

第四章  矩阵的特征值及特征向量的计算

§1 幂法与反幂法

一、幂法

二、反幂法

§2 雅可比方法

一、古典雅可比方法

二、雅可比过关法

本章小结

算法与程序设计实例

思考题

习题四

第五章  插值法

§1 拉格朗日（Lagrange）插值

一、代数插值问题

二、插值多项式的存在与惟一性

三、线性插值

四、抛物线插值

五、拉格朗日插值多项式

§2 分段低次插值

一、分段线性插值

二、分段抛物线插值

§3 差商与牛顿插值多项式

一、差商的定义及性质

二、牛顿插值多项式及其余项

§4 差分与等距节点插值公式

一、差分的定义及性质

二、等距节点插值多项式及其余项

§5 埃尔米特（Hermite）插值

一、一般情形的埃尔米特插值问题

二、特殊情形的埃尔米特插值问题

§6 三次样条插值

一、三次样条插值函数的定义

二、三次样条插值函数的构造

本章小结

算法与程序设计实例

思考题

习题五

第六章  最小二乘法与曲线拟合

§1 用最小二乘法求解矛盾方程组

一、最小二乘原理

二、用最小二乘法求解矛盾方程组

§2 用多项式作最小二乘曲线拟合

本章小结

算法与程序设计实例

思考题

习题六

第七章  数值微积分

§1 牛顿-柯特斯（Newton-Cores）公式

一、数值求积的基本思想

二、插值型求积公式

三、牛顿-柯特斯公式

§2 龙贝格（Romberg）求积公式

一、复化求积公式

二、变步长求积公式

三、龙贝格求积公式

§3 高斯型求积公式

一、代数精确度

二、高斯型求积公式

三、勒让德（Legendre）多项式

§4 数值微分

一、差商型求导公式

二、插值型求导公式

本章小结

算法与程序设计实例

思考题

习题七

第八章  常微分方程的数值解法

§1 欧拉（Euler）方法

一、欧拉公式

二、欧拉预估-校正方法

三、欧拉方法的误差估计

§2 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法

一、龙格-库塔方法的基本思想

二、二阶龙格-库塔公式

三、高阶龙格-库塔公式

§3 线性多步方法

一、线性多步方法的基本思想

二、阿达姆斯（Adams）外插公式及其误差

三、阿达姆斯内插公式

§4 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解法

一、一阶微分方程组的数值解法

二、高阶微分方程的数值解法

本章小结

算法与程序设计实例

思考题

习题八

习题答案与提示

参考书目

《全国高等院校计算数学教材：现代数值计算方法》是为理工科院校各专业本科生、研究生开设的“数值计算方法”课程而编写的教材。全书系统地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值分析理论、方法及有关应用，内容包括误差分析、线性方程组的直接解法与迭代解拟合、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法等。《全国高等院校计算数学教材：现代数值计算方法》取材新颖、阐述严谨、内容丰富、重点突出、推导详尽、思路清晰、深入浅出、富有启发性，便于教学与自学。为了加强对学生基本知识的训练与综合能力的培养，每章末都配备了小结并精选了相当数量的算法与C语言程序设计上机实例、复习思考题及综合练习题，以便读者巩固、复习、应用所学知识。书末附有习题答案与提示，可供教师与学生参考。
　　《全国高等院校计算数学教材：现代数值计算方法》可作为理工科院校各专业本科生、研究生“数值计算方法”课程的教材或教学参考书，也可供从事数值计算的科技工作者学习参考。