2.3　数学归纳法

1用数学归纳法证明1+1/2+1/3+...+1/(2^n "-" 1)1)时,第一步应验证不等式(　　)

A.1+1/2<2B.1+1/2+1/3<2

C.1+1/2+1/3<3D.1+1/2+1/3+1/4<3

解析：∵n∈N+,n>1,∴n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为 1/(2^2 "-" 1)=1/3.

答案：B

2利用数学归纳法证明不等式1+1/2+1/3+...+1/(2^n "-" 1)

A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项

解析：1+1/2+1/3+...+1/(2^(k+1) "-" 1)-(1+1/2+1/3+"..." +┤

├ 1/(2^k "-" 1))=1/2^k +1/(2^k+1)+...+1/(2^(k+1) "-" 1),共增加了2k项.

答案：D

3已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为(　　)

A.30 B.26 C.36 D.6

解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,∴f(1),f(2),f(3)都能被36整除,猜想f(n)能被36整除.

　　证明:当n=1,2时,由上得证,设当n=k(k≥2)时,f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2)⇒f(k+1)能被36整除.

　　∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求的最大的m的值等于36.

答案：C

4设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足"当f(k)≥k2成立时总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立".那么下列命题总成立的是(　　)

A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立