1．5.3　定积分的概念

学习目标　1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．

知识点一　定积分的概念

思考　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．

答　两个问题均可以通过"分割、近似代替、求和、取极限"解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．

一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

知识点二　定积分的几何意义

思考　定积分和曲边梯形的面积有何关系？

答　(1)当函数f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a

(2)当函数f(x)≤0时，曲边梯形位于x轴的下方，此时ʃf(x)dx等于曲边梯形面积S的相反数，即ʃf(x)dx＝－S.

(3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．

从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃf(x)dx的几何意义．

知识点三　定积分的性质