复习课(三)　数系的扩充与复数的引入

复数的概念 　　

　　(1)复数的概念是学习复数的基础，是考试的重要的考查内容之一，一般以选择题或填空题形式出现，难度较小．

　　(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念．

　　1．复数是实数的充要条件

　　(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0.

　　(2)z∈R⇔z＝.

　　(3)z∈R⇔z2≥0.

　　2．复数是纯虚数的充要条件

　　(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0.

　　(2)z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)．

　　(3)z是纯虚数⇔z2<0.

　　3．复数相等的充要条件

　　a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．

　　[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：

　　p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

　　p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

　　p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

　　p4：若复数z∈R，则∈R.

　　其中的真命题为(　　)

　　A．p1，p3　　　　 　B．p1，p4

　　C．p2，p3 D．p2，p4

　　(2)(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．

　　[解析]　(1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；

　　对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；

对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，