解得x＝3或x＝(舍去)．

∵f(3)＝－9，f(1)＝－1，f(5)＝15，

∴当x∈[1,5]时，f(x)的最小值为－9，最大值为15.

类型二　由函数的最值求参数

例2　(1)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．

求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，

令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．

①当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b b －16a＋b

由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.

又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3

∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.

②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.

又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，

∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.

综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

(2)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．

解　h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.

令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，

当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表.

x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞) h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗

当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.