当命题中出现"至多""至少"等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的"结论词"与"反设词"如下：

结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x0不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x0成立 至少有n个 至多有n－1个 p或q 綈p且綈q 至多有n个 至少有n＋1个 p且q 綈p或綈q

跟踪训练2　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，

由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，

得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.

同向不等式求和得：

4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，

所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.

所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.

所以a＝b＝c.

这与题设a，b，c互不相等矛盾，

因此假设不成立，从而命题得证．

类型三　用反证法证明唯一性命题

例3　求证：方程2x＝3有且只有一个根．

证明　∵2x＝3，∴x＝log23.

这说明方程2x＝3有根．

下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．

假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，

则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1，

∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．

∴假设不成立，从而原命题得证．

反思与感悟　用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明"有且只有一个"的问题，需要