类型一　分类讨论思想的应用

例1　实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？

(1)是实数；

(2)是虚数；

(3)是纯虚数．

解　(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.

(1)当k2－5k－6＝0，

即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．

(2)当k2－5k－6≠0，

即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．

(3)当

即k＝4时，该复数为纯虚数．

反思与感悟　当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．

跟踪训练1　(1)若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)

A．a＝－1

B．a≠－1且a≠2

C．a≠－1

D．a≠2

答案　C

解析　若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数．当a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a≠－1且a≠2；当a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a＝2.综上所述，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．

(2)实数x取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i是：

①实数；②虚数；③纯虚数；④零．

解　①当x2－2x－15＝0，