第三章　函数的应用

本章复习

学习目标

　　①了解方程的根与函数零点的关系;

　　②理解函数零点的性质,掌握二分法,会用二分法求方程的近似解;

　　③了解直线上升、指数爆炸、对数增长,会进行指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较;

　　④能熟练应用数学建模解决有关函数的实际应用问题.

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　　一、知识回顾

　　(一)全章知识点

　　1.函数的零点,方程的根与函数的零点,零点的性质.

　　2.二分法,用二分法求函数零点的步骤.

　　3.几类不同增长的函数模型(直线上升、指数爆炸、对数增长),指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.

　　4.应用函数模型解决实际问题的基本过程.

　　(二)方法总结

　　1.函数y=f(x)的　　　　就是方程f(x)=0的根,因此,求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题.

　　2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛,求解此类问题常有三种途径:

　　(1)利用求根公式;

　　(2)利用二次函数的图象;

　　(3)利用根与系数的关系.

　　无论利用哪种方法,根的判别式都不容忽视,只是由于二次函数图象的不间断性,有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中.

　　3.用二分法求函数零点的一般步骤:

　　已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个变号零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过正数ε,即使得|x-x0|≤ε.

　　(1)在D内取一个闭区间[a,b]⊆D,使　.

　　令a0=a,b0=b.

　　(2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的横坐标为

　　x0=a0+1/2(b0-a0)=1/2(a0+b0).

　　计算f(x0)和f(a0).

　　判断:①如果f(x0)=0,　　　　;

　　②如果f(a0)·f(x0)<0,则零点位于区间　　　　内,令a1=a0,b1=x0;

　　③如果f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间　　　　内,令a1=x0,b1=b.

　　(3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的横坐标为

x1=a1+1/2(b1-a1)=1/2(a1+b1).