由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．

故a＝1.

②由①得a＝1.

∴f′(x)＝x2＋2x－9，

则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.

∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，

即6x－y－28＝0.

反思与感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求"在某点处的切线方程"，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求"过某点的切线方程"，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．

跟踪训练1　直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________.

答案　－15

解析　由题意知f(2)＝3，则a＝－3.

f(x)＝x3－3x＋1.

f′(2)＝3×22－3＝9＝k，

又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，

∴b＝3－9×2＝－15.

类型二　函数的单调性、极值、最值问题

例2　设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.

令f′(x)＝0，得x＝ln 2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋