∴f(x)在定义域(－1，＋∞)上单调递增．

又∵x>0，∴f(x)>f(0)＝0，

即ln(1＋x)－(x－x2)>0，

故当x>0时，ln(1＋x)>x－x2.

类型二　利用综合法与分析法解决数列问题

例2　在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．

证明　由已知条件得

消去x，y得2a＝＋，且a>0，b>0，c>0.

要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，

只需证a＋1≥，

只需证a＋1≥，

即证2a≥b＋c.

由于2a＝＋，只需证＋≥b＋c，

只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，

即证b2＋c2－bc≥bc，

即证(b－c)2≥0.

因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．

跟踪训练2　设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：＋＝2.

证明　由已知条件得

b2＝ac，①

2x＝a＋b,2y＝b＋c.②