思考　你能根据定积分的几何意义解释ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a

答　直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.

(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)．

(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx.

(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a

类型一　定积分的概念

例1　(1)定积分ʃf(x)dx的大小(　　)

A．与f(x)和积分区间有关，与ξi的取法无关

B．与f(x)有关，与区间及ξi的取法无关

C．与f(x)及ξ1的取法有关，与区间无关

D．与f(x)、积分区间和ξi的取法都有关

答案　A

解析　由定积分的概念可得．

(2)用定积分的定义计算ʃx2dx.

解　令f(x)＝x2.

(1)分割

在区间[0,3]上等间隔地插入n－1个点，把区间[0,3]分成n等份，其分点为xi＝(i＝1,2，...，n－1)，这样每个小区间[xi－1，xi]的长度Δx＝(i＝1,2，...，n)．

(2)近似代替、求和

令ξi＝xi＝(i＝1,2，...，n)，于是有和式：

(ξi)Δx＝()2·＝2＝·n(n＋1)·(2n＋1)＝(1＋)(2＋)．

(3)取极限

根据定积分的定义，有ʃx2dx＝li(ξi)Δx

＝li (1＋)(2＋)＝9.

反思与感悟　利用定义求定积分的步骤