b]上的定积分，即s＝v(t)dt.

(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝F(x)dx.

要点一　求变速直线运动的路程、位移

例1　有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求

(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；

(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．

解　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．

故t＝6时，点P离开原点的路程

s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt

＝－＝.

当t＝6时，点P的位移为

(8t－2t2)dt＝＝0.

(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，

即4t2－t3＝0，

解得t＝0或t＝6，

t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，

t＝6是所求的值．

规律方法　(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．

(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．

跟踪演练1　变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．

解　当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)<0.