例1　已知f(n)＝1＋＋＋...＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．

答案　2k

解析　观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，

f(2k)＝1＋＋＋...＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋...＋＋＋＋...＋.

因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．

规律方法　在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．

跟踪演练1　设f(n)＝1＋＋＋...＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．

答案　＋＋

解析　∵f(n)＝1＋＋＋...＋，

∴f(n＋1)＝1＋＋＋...＋＋＋＋，

∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.

要点二　证明与自然数n有关的等式

例2　已知n∈N*，证明：1－＋－＋...＋－＝＋＋...＋.

证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，

等式成立；

(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即：

1－＋－＋...＋－

＝＋＋...＋.

则当n＝k＋1时，

左边＝1－＋－＋...＋－＋