2.解:(1)连接OB.∵弦AB垂直平分OC,∴OB=BC.又∵OB=OC,∴△OBC是正三角形.∴BC=OC=2 (2)证明:∵BC=CP,∴∠CBP=∠CPB.∵△OBC是正三角形,∴∠OBC=∠OCB=60°.∴∠CBP=30°,∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°,即OB⊥BP.∵点B在⊙O上,∴PB是⊙O的切线