由①②可知，对一切n∈N*，都有＋＋...＋>.

故a的最大值为25.

类型二　整除问题

例2　求证：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．

证明　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，

ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1

＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1

＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.

由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，

故当n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．

反思与感悟　证明整除性问题的关键是"凑项"，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．

跟踪训练2　用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．

证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7，能被7整除．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．

那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.

∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，

∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．

由(1)(2)知命题成立．

类型三　有关几何问题

例3　平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.

证明　(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，

又f(2)＝×2×(2－1)＝1，