1.3.2极大值与极小值

一、单选题

1．若函数f(x)=x^3-3ax+b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是（ ）

A．(-1,1) B．(0,1)

C．(-1,0) D．(-2,-1)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，求导f'（x）=0，求得该函数的极值点x1，x2，并判断是极大值点x1，还是极小值点x2，代入f（x1）=6，f（x2）=2，解方程组可求得a，b的值，再由f'（x）＜0即可得到．

【详解】

令f'（x）=3x2﹣3a=0，得x=±√a，

令f'（x）＞0得x＞√a或x＜﹣√a；令f'（x）＜0得﹣√a＜x＜√a．

即x=﹣√a取极大，x=√a取极小．

∵函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，

∴f（√a）=2，f（﹣√a）=6，

即a√a﹣3a√a+b=2且﹣a√a+3a√a+b=6，

得a=1，b=4，

则f'（x）=3x2﹣3，由f'（x）＜0得﹣1＜x＜1．

则减区间为（﹣1，1）．

故选：Ａ．

【点睛】

本题考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的单调区间，考查解方程的运算能力，属于中档题．

2．若函数y=ax^3+bx^2取极大值和极小值时的x的值分别为0和1/3，则（ ）

A．a-2b=0 B．2a-b=0

C．2a+b=0 D．a+2b=0

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数极值的性质可知，极值点处的导数为零，且左右两侧导数异号，据此可以列出关于a，b的方程（组），再进行判断．

【详解】

设f（x）=ax3+bx2（a≠0），

则f'（x）=3ax2+2bx，

由已知得 {█(f'(0)=0@f'(1/3)=0) 且a＞0，即3a(1/3 )^2+2b(1/3)=0

化简得a+2b=0．

故选：D．