课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例

　　一、题组对点训练

　　对点练一　面积、体积的最值问题

　　1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)

　　A．3π B．3π C．3π D．3π

　　解析：选A　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，

　　∴h＝，V＝πr2h＝πr2l－2πr3.

　　则V′＝lπr－6πr2，

　　令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，

　　∴r＝是其唯一的极值点．

　　当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.

　　2．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．

　　(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

　　(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

　　解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．　

　　由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.

　　(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

　　所以当x＝15时，S取得最大值．

(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．