§1.3　充分条件、必要条件与命题的四种形式

1.3.1　推出与充分条件、必要条件

学习目标　1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性．

知识点一　命题的结构

思考　你能把"内错角相等"写成"若...，则..."的形式吗？

答案　若两个角为内错角，则这两个角相等．

梳理　命题的形式：在数学中，经常遇到"如果p，则(那么)q"的形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．

知识点二　充分条件与必要条件

给出下列命题：

(1)如果x>a2＋b2，则x>2ab；

(2)如果ab＝0，则a＝0.

思考1　你能判断这两个命题的真假吗？

答案　(1)真命题；(2)假命题．

思考2　命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？

答案　命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能有结论b＝0.

梳理　一般地，"如果p，则q"为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

知识点三　充要条件

思考1　命题"若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数"中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？

答案　只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．

思考2　若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？

答案　因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．