课时分层作业(二十二)　导数的实际应用

　　(建议用时：40分钟)

　　[基础达标练]

　　1．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)

　　A．10 B．15　　　C．25　　　D．50

　　C　[如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sin θ·2·5cos θ＝50sin θcos θ＝25sin 2θ，∴当sin 2θ＝1时，函数取得最大值25，此时θ＝45°，故Smax＝25.]

　　2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为(　　)

　　A．30 B．40 C．50 D．60

　　B　[V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，

　　因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)＞0，此时V(x)单调递增；

　　当40＜x＜60时，V′(x)＜0，此时V(x)单调递减，所以x＝40是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]

　　3．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 (　　)

　　A． B． C. D．2

C　[设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin 60°·l，∴l＝，∴S表＝x2·sin 60°＋3·x·l＝x2＋，S′表＝x－.令S′表＝0，∴x3＝4V，即x＝.又当x∈(0，)时，S′表＜0，当x∈(，＋∞)时，S′表＞0，