第9课时　直线与抛物线的位置关系

基础达标(水平一 )

1.直线l经过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线交于A、B两点,O为原点,则(OA) ⃗·(OB) ⃗的值为(　　).

　　A.12 B.20　　　　 C.-12　　　　 D.-20

　　【解析】焦点为(2,0),设直线l方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由{■(x=my+2"," @y^2=8x"," )┤得y2-8my-16=0,

　　∴y1y2=-16,x1x2=(y_1^2)/8·(y_2^2)/8=1/64(y1y2)2=4,

　　∴(OA) ⃗·(OB) ⃗=x1x2+y1y2=-12.

　　【答案】C

2.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为√3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(　　).

　　A.2 B.4 C.4√3 D.8

　　【解析】由抛物线的定义知AF=AK,

　　又∠KAF=60°,所以△AFK是正三角形.

　　联立方程组{■(y^2=4x"," @y=√3 "(" x"-" 1")," )┤

　　消去y得3x2-10x+3=0,

　　解得x=3或x=1/3.由题意得A(3,2√3),

　　所以△AKF的边长为4,面积为1/2×4×2√3=4√3.

　　【答案】C

3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦,若|AB|=4,则AB的中点的纵坐标是(　　).

　　A.1 B.2 C.5/8 D.15/8

　　【解析】如图所示,设AB的中点为P(x0,y0),分别过A,P,B三点作准线l的垂线,垂足分别为A',Q,B',由题意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4,|PQ|=("|" AA"'|" +"|" BB"'|" )/2=2,又|PQ|=y0+1/8,∴y0+1/8=2,∴y0=15/8.

　　【答案】D

4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　).

　　A.["-" 1/2 "," 1/2] B.[-2,2]

　　C.[-1,1] D.[-4,4]

　　【解析】由题意知,抛物线准线方程为x=-2,点Q(-2,0),

　　设直线l:y=k(x+2),由{■(y=k"(" x+2")," @y^2=8x"," )┤

　　得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.

　　当k=0时,x=0,即直线l与抛物线的交点为(0,0),

当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0