3.2　双曲线的简单性质

课时过关·能力提升

1.已知0

A.相同的虚轴 B.相同的实轴

C.相同的渐近线 D.相同的焦点

答案:D

2. 设a>1,则双曲线 x^2/a^2 -y^2/("(" a+1")" ^2 )=1的离心率e的取值范围是(　　)

A.(√2,2) B.(√2,√5)

C.(2,5) D.(2,√5)

答案:B

3.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(　　)

A.√2 B.√3

C.(√3+1)/2 D.(√5+1)/2

解析:设双曲线方程为x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a,b>0),不妨设一个焦点为F(c,0),虚轴端点为B(0,b),则kFB=-b/c.

　　又渐近线的斜率为±b/a,所以由直线垂直关系得-b/c·b/a=-1("-" b/a "显然不符合" ),即b2=ac,

　　又c2-a2=b2,故c2-a2=ac,两边同除以a2,得方程e2-e-1=0,解得e=(√5+1)/2或e=(1"-" √5)/2(舍去).

答案:D

4.已知有相同的焦点F1,F2的椭圆x^2/m+y2=1(m>1)和双曲线x^2/n-y2=1(n>0),P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.随m,n的变化而变化

解析:∵|PF1|+|PF2|=2√m,

　　|PF1|-|PF2|=±2√n,

　　又m-1=n+1,∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|2.故选B.

答案:B

5.如果方程x^2/("-" p)+y^2/q=1表示双曲线,那么下列椭圆中,与该双曲线共焦点的是(　　)

A.x^2/(2p+q)+y^2/q=1 B.x^2/(p+2q)+y^2/q=1

C.x^2/(2p+q)+y^2/p=-1 D.x^2/(p+2q)+y^2/p=-1

答案:C

6.双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为(　　)

A.y2-3x2=36 B.x2-3y2=36

C.3y2-x2=36 D.3x2-y2=36

解析:由4x2+y2=64,得x^2/16+y^2/64=1,c2=64-16=48,

　　∴c=4√3,e=(4√3)/8=√3/2.

　　∴双曲线中,c=4√3,e=2/√3=c/a.

　　∴a=√3/2c=6,b2=c2-a2=48-36=12.

　　∴双曲线方程为y^2/36-x^2/12=1,即y2-3x2=36.

答案:A