5.4.1 柯西不等式

一、单选题

1．设a ， b ， c＞0，且a＋b＋c＝1，则 的最大值是( )

A．1 B． C．3 D．9

【答案】B

【解析】由柯西不等式得， ，当且仅当时等号成立， 的最大值为，故选B.

2．若a，b∈R_+，且a+b=1，则√(a^2+1)+√(b^2+4)的最小值为

A．2+√2 B．2√2 C．3 D．√10

【答案】D

【解析】因为a，b∈R_+，且a+b=1，所以a^2+b^2=1-2ab，

又〖(√(a^2+1)+√(b^2+4))〗^2=a^2+b^2+5+2√((a^2+1)(b^2+4))≥6-2ab+2√(〖(ab+2)〗^2 )=6-2ab+2(ab+2)

=10，所以√(a^2+1)+√(b^2+4)≥√10，当且仅当a/b=1/2时，等号成立，故√(a^2+1)+√(b^2+4)的最小值为√10．故选D．

3．已知a+b=1，则以下成立的是（ ）

A.a2+b2＞1 B.a2+b2=1 C.a2+b2＜1 D.a2b2=1

【答案】B

【解析】

试题分析：利用柯西不等式即可得出．

解：由柯西不等式，得1=a+b≤[a2+（1﹣a2）][（1﹣b2）+b2]=1，

当且仅当=时，上式取等号，

∴，化为a2b2=（1﹣a2）（1﹣b2），

于是 a2+b2=1．

故选：B．

点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．