1.(2018·全国卷II高考文科·T21)(12分)已知函数f(x)=1/3x3-a(x^2+x+1).

(1)若a=3,求f(x)的单调区间.

(2)证明:f(x)只有一个零点.

【命题意图】本题考查利用导数的有关知识来求解函数的单调区间以及研究函数的零点,意在考查考生的化归与转化能力,分类讨论的思想运用以及求解能力.

【解析】(1)当a=3时,f(x)=1/3x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-1.

令f'(x)=0解得x=3-2√3或3+2√3.

当x∈(-∞,3-2√3)或(3+2√3,+∞)时,f'(x)>0;

当x∈(3-2√3,3+2√3)时,f'(x)<0.

故f(x)在(-∞,3-2√3),(3+2√3,+∞)上单调递增,在(3-2√3,3+2√3)上单调递减.

(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于x^3/(x^2+x+1)-3a=0.

设g(x)=x^3/(x^2+x+1)-3a,则g'(x)=(x^2 "(" x^2+2x+3")" )/("(" x^2+x+1")" ^2 )≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点.

又f(3a-1)=-6a2+2a-1/3=-6(a"-" 1/6)^2-1/6<0,f(3a+1)=1/3>0,故f(x)有一个零点.

综上,f(x)只有一个零点.

2.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T20)

已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1.

(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间.

(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的