课时训练17　基本不等式的应用

1.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值等于(　　)

A.10 B.9 C.8 D.7

答案:B

解析:∵a>0,b>0,∴2a+b>0,

　　∴要使恒成立,

　　只需m≤(2a+b)·恒成立,

　　而(2a+b)·=4++1≥5+4=9,

　　当且仅当a=b时,等号成立,故m≤9.

2.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元,那么水池的最低总造价为(　　)

A.1 000元 B.2 000元

C.2 720元 D.4 720元

答案:B

解析:设水池底面一边长为x m,则另一边为 m,

　　总造价y=4×180+×80

　　=320+720≥1 280+720=2 000,

　　当且仅当x=,即x=2时,等号成立.

3.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则的最小值为(　　)

A. B.1 C.2 D.4

答案:D

解析:∵是3a与3b的等比中项,

　　∴3a·3b=3,即3a+b=3,有a+b=1.

　　∵a>0,b>0,∴,即ab≤.

　　∴=4.

　　当且仅当a=b=时,等号成立.

4.已知函数y=+9x,

(1)若x∈(0,+∞),当x=　　　　　时,函数有最小值为　　　　　;

(2)若x∈,当x=　　　　　时,函数有最小值为　　　　　;

(3)若x∈[4,+∞),当x=　　　　　时,函数有最小值为　　　　　.

答案:(1)　12　(2)　(3)4　37

解析:(1)∵x>0,∴y=+9x≥12.

　　当且仅当=9x,即x=时,取到等号.

　　故当x=时,函数y=+9x有最小值12.

　　(2)∵y=+9x在上单调递减,在上单调递增,∴x=时,ymin=.

　　故若x∈,当x=时,函数y=+9x有最小值为.

　　(3)∵y=+9x在上单调递增,

　　∴当x=4时,ymin=37.

　　故若x∈[4,+∞),当x=4时,函数y=+9x有最小值为37.

5.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为　　　　.

答案:

解析:∵x>a,∴x-a>0,

∴2x+=2(x-a)++2a≥4+2a,当且仅当x=a+1时取"=".