3 运 算 定 律
一、加法运算定律
1.加法交换律
两个数相加,交换加数的位置,和不变。用字母表示为a+b=b+a。
2.加法结合律
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)。
加法交换律和加法结合律同样适用于计算多个数连加。如:
125+36+75+264
=(125+75)+(36+264)
=200+300
=500
有的算式中带有括号,先算括号里面的并不简便,根据数的特点可以先把括号去掉,再运用加法交换律和加法结合律使计算变得简便。如:
(452+36)+(48+564)
=(452+48)+(36+564)
=500+600
=1100
注意:在计算连加算式时,不要盲目地进行计算,首先要观察算式中的数,看看有没有能凑成整十、整百、整千的数,如果有,那么可以运用加法交换律或加法结合律进行计算,这样既简便又准确。
二、减法的运算性质
1.一个数连续减去两个数,等于减去这两个数的和。用字母表示为a-b-c=a-(b+c)。
注意:根据数据的特点逆运用减法的性质也可以使计算变得简便。括号前面是减号,去掉括号后,括号里面的算式要改变运算符号。
如:346-(146+63)
=346-146-63
=200-63
=137
减法性质的逆运用:一个数减去两个数的和相当于从被减数中连续减去这两个数。
2.在连减运算中,任意交换两个减数的位置,差不变。用字母表示为a-b-c=a-c-b。
3.在加减混合运算中,带着数前面的运算符号交换加数、减数的位置再进行计算,其结果不变。用字母表示为a+b-c=a-c+b(a>c)
三、乘法运算定律
1.乘法交换律
两个数相乘,交换两个因数的位置,积不变。用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律
三个数相乘,先乘前两个数,或者先乘后两个数,积不变。用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。
运用乘法交换律和乘法结合律可以使计算变得简便。如:
25×17×4
=17×(25×4)
=100×17
=1700这里运用了乘法交换律和乘法结合律,
把乘积是整百的两个数结合。
在连乘算式中,如果某两个因数的积正好是整十、整百、整千......的数,运用乘法交换律或结合律先把这两个数相乘,能使计算简便。
3.乘法分配律
两个数的和与一个数相乘,可以先把它们分别与这个数相乘,再相加。用字母表示为(a+b)×c=a×c+b×c。
如:(125+12)×8
=125×8+12×8
=1000+96
=1096
典型题目:
(1)两个因数相乘,其中一个因数是接近整十、整百......的数,可以先将其转化成整十、整百......的数加(或减)一个数的形式,再运用乘法分配律进行简算。
99×24
=(100-1)×24
=100×24-1×24
=2400-24
=2376 302×24
=(300+2)×24
=300×24+2×24
=7200+48
=7248
(2)逆运用乘法分配律进行简算。
78×36+22×36
=(78+22)×36
=100×36
=3600 99×57+57
=(99+1)×57
=100×57
=5700
78×36+32×36-10×36
=(78+32-10)×36
=100×36
=3600
两个(或三个)乘法算式中都有一个相同的因数,可以将这个共同的因数提取出来,将另外的因数组合在一起算,转化成形如a×d+b×d+c×d=(a+b+c)×d的形式来简算。
特殊数相乘的积:
25×4=100
125×8=1000
在运用乘法结合律进行运算时,注意添加小括号来改变运算顺序。
四、除法的运算性质
1.一个数连续除以两个数,可以用这个数除以两个除数的积。用字母表示为a÷b÷c=a÷(b×c)(b、c均不为0)。
(1)
600÷25÷4
=600÷(25×4)
=600÷100
=6 (2) 700÷14
=700÷(7×2)
=700÷7÷2
=100÷2
=50
注意:括号前面是除号,添上(或去掉)括号后,括号里面的算式要改变运算符号。
两个数相除,如果除数分解成的因数恰好与被除数成倍数关系,那么逆运用除法的性质也可以使计算变得简便。
2.在连除运算中,任意交换两个除数的位置,商不变。用字母表示为a÷b÷c=a÷c÷b(b、c均不为0)。
运用加法交换律可以验算加法:交换两个加数的位置再算一遍,看看和是否相等。
交换律改变的是数的位置,结合律改变的是运算顺序。
运用加法结合律时,要把结合的两个数用括号括起来。
易错题:
判断:32+67+18=67+(32+18)只运用了加法结合律。()
分析:此题错在没有理解加法交换律。这里既运用了加法交换律,又运用了加法结合律。
正确答案:✕
易错题:
错误答案:
363-(163+58)
=363-163+58
=200+58
=258
分析:此题括号前面是减号,错在去括号后没有改变运算符号。
正确答案:
363-(163+58)
=363-163-58
=200-58
=142
易错题:
错误答案:
44+39-56+41
=(44+56)-(39+41)
=100-80
=20
分析:此题错在加括号后改变了加法的运算符号。
正确答案:
44+39-56+41
=44+(39+41)-56
=44+80-56
=124-56
=68
重点题型:
25×32×125
=25×(4×8)×125
=(25×4)×(8×125)
=100×1000
=100000
总结:在计算连乘算式时,当有的因数不具备"凑整"条件时,可以运用分解的方法,把一个因数分解成两个数相乘的形式,使其中的数与其他因数的积"凑整",这样会使计算简便。
易错题:
错误答案:
(21+35)×12=21×12+35
分析:此题错在没有掌握乘法分配律的运用方法,应该把12分别与21和35相乘。
正确答案:(21+35)×12=21×12+35×12
乘法分配律必须在乘加或乘减两种运算中进行。
99×57+57
乍一看不符合乘法分配律的形式,可实际是99×57+57×1的简写形式。
易错题:
错误答案:
100÷4×25
=100÷1
=1
分析:当乘除混合运算中不具备简算的因素时,应按照从左往右的顺序进行计算。
正确答案:
100÷4×25
=25×25
=625