第2课时　两个向量的数量积

基础达标(水平一 )

1.在△ABC中,(AB) ⃗=a,(BC) ⃗=b,若a·b<0,则△ABC是(　　).

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.不能确定是何种三角形

【解析】由a·b=|a b|·cos<0得cos<0,所以向量(AB) ⃗与(BC) ⃗的夹角为钝角,即∠B的补角为钝角,所以只能判断∠B为锐角,但三角形的形状不能确定.

【答案】D

2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是(　　).

A.(AD_1 ) ⃗·(B_1 C) ⃗

B.(BD_1 ) ⃗·(AC) ⃗

C.(AB) ⃗·(AD_1 ) ⃗

D.(BD_1 ) ⃗·(BC) ⃗

【解析】当四边形AA1D1D是正方形时,(AD_1 ) ⃗⊥(B_1 C) ⃗,(AD_1 ) ⃗·(B_1 C) ⃗=0;当四边形ABCD是正方形时,(BD_1 ) ⃗⊥(AC) ⃗,(BD_1 ) ⃗·(AC) ⃗=0;因为AB⊥平面AA1D1D,所以(AB) ⃗⊥(AD_1 ) ⃗,(AB) ⃗·(AD_1 ) ⃗=0;(BD_1 ) ⃗与(BC) ⃗所成的角是∠CBD1,而∠BCD1=90°,所以∠CBD1是锐角,故(BD_1 ) ⃗·(BC) ⃗≠0.

【答案】D

3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为(　　).

A.√5 B.2√2

C.√14 D.√17

【解析】设(AA_1 ) ⃗=a,(AB) ⃗=b,(AD) ⃗=c,

由已知得|a|=3,|b|=|c|=2,

a·b=a·c=3×2×cos 60°=3,b·c=0.

因为(A_1 C) ⃗=(A_1 A) ⃗+(AB) ⃗+(BC) ⃗=-a+b+c,

所以(A_1 C) ⃗^2=(-a+b+c)2

=a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c

=32+22+22-2×3-2×3+2×0=5.

所以|(A_1 C) ⃗|=√5,即A1C的长为√5.

【答案】A