§3　从速度的倍数到数乘向量

3.1　数乘向量

课后篇巩固探究

1.线段AB的中点为C,若(AB) ⃗=λ(BC) ⃗,则λ的值是(　　)

A.2 B.-2 C.2或-2 D.1/2或2

解析由已知得(AC) ⃗=(CB) ⃗,

　　∴(AB) ⃗=(AC) ⃗+(CB) ⃗=2(CB) ⃗=-2(BC) ⃗.

答案B

2.下列说法正确的个数为(　　)

①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.

答案B

3.已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则λ等于(　　)

A.1 B.0

C.-1 D.±1

解析∵向量a+λb与b+λa的方向相反,

　　∴(a+λb)∥(b+λa),即存在一个负实数m,使得a+λb=m(b+λa),

　　即(1-mλ)a=(m-λ)b.

　　∵a与b不共线,

　　∴1-mλ=m-λ=0,可得m=λ<0,

　　∴1-λ2=0,∴λ=-1.

答案C

4.已知(OA) ⃗,(OB) ⃗,(OC) ⃗的终点A,B,C在一条直线上,且(AC) ⃗=-3(CB) ⃗,设(OA) ⃗=p,(OB) ⃗=q,(OC) ⃗=r,则下列等式成立的是0(　　)

A.r=-1/2p+3/2q B.r=-p+2q

C.r=3/2p-1/2q D.r=-q+2p

解析r=(OC) ⃗=(OA) ⃗+(AC) ⃗=(OA) ⃗-3(CB) ⃗=(OA) ⃗-3((OB) ⃗-(OC) ⃗)=p-3q+3r,所以2r=3q-p,r=-1/2p+3/2q,故选A.

答案A

5.如图,在△ABC中,设E为BC边的中点,则3(AB) ⃗+2(BC) ⃗+(CA) ⃗=(　　)

A.(AC) ⃗ B.2(AC) ⃗

C.(AE) ⃗ D.2(AE) ⃗

解析3(AB) ⃗+2(BC) ⃗+(CA) ⃗

　　=3((AB) ⃗+(BC) ⃗)+(CA) ⃗-(BC) ⃗

　　=3(AC) ⃗+(CA) ⃗-(BC) ⃗=2(AC) ⃗-2(EC) ⃗

　　=2((AC) ⃗-(EC) ⃗)=2((CE) ⃗-(CA) ⃗)=2(AE) ⃗.

答案D

6.若四边形ABCD为正方形,点E是CD的中点,且(AB) ⃗=a,(AD) ⃗=b,则(BE) ⃗=　　　　　.

解析(BE) ⃗=(BC) ⃗+(CE) ⃗=(AD) ⃗+1/2 (CD) ⃗=(AD) ⃗-1/2 (AB) ⃗=b-1/2a.