第8课时　排列组合综合应用

基础达标(水平一)

1.若从1,2,3,...,9这9个数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有(　　).

A.60种 B.63种 C.65种 D.66种

【解析】9个数中有4个偶数,5个奇数.取的4个数均为奇数时,有C_5^4=5种;均为偶数时,有C_4^4=1种;两奇两偶时,有C_4^2·C_5^2=60种.故共有5+1+60=66种.

【答案】D

2.学校团委组织"共圆中国梦"知识演讲比赛,现有4位选手参加决赛,若每位选手都可以从4个备选题目中任选1个进行演讲,则恰有1个题目没有被这4位选手选中的情况有(　　).

A.36种　　 B.72种　　 C.144种　　 D.288种

【解析】恰有1个题目没有被这4位选手选中,即4位选手选中3个题目,即有1个题目被2位选手选中,故满足条件的情况有C_4^3 C_4^2 A_3^3=144种.

【答案】C

3.设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向x轴正方向或负方向跳1个单位,经过5次跳动,质点落在点(3,0)处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共有(　　).

A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

【解析】记向左跳1次为-1,向右跳1次为+1,则只要5次和为+3,质点一定落在(3,0),所以只需4个"+1",1个"-1"即可,从5次中挑出1次取"-1",结果数为C_5^1=5,故质点运动方法共有5种.

【答案】C

4.某班组织文艺晚会,准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出.要求:A,B两个节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻.那么不同演出顺序的种数为(　　).

A.1860 B.1320 C.1140 D.1020

【解析】分两类:第一类,A,B只有一个选中,则不同演出顺序有C_2^1 C_6^3 A_4^4种;第二类,A,B同时选中,则不同演出顺序有C_6^2 A_2^2 A_3^2种.故共有C_2^1 C_6^3 A_4^4+C_6^2 A_2^2 A_3^2=1140种.

【答案】C

5.由1,2,3三个数字组成的五位数中,相邻的数字不相同的五位数共有　　　　个.

【解析】先分类,只有两个数字组成的五位数,共有3×2=6种.由三个数字组成的五位数,其中1,2,3是固定的,剩下两个数可能是1、1,1、2,1、3,2、2,2、3,3、3六种情况,其中有1、1,2、2,3、3的情况先排三个相同的数字,再排剩下的两个数字,所以有3×2=6种,对于有1、2,1、3,2、3的三种情况,由于有两个数字相同,各有10种排法,共有30种排法.综上所述,满足条件的五位数共有6+6+30=42个.

【答案】42

6.某校准备参加2018年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8个教学班,每班至少1个名额,则不同的分配方案共有　　　　种.

【解析】问题等价于把10个相同小球放入8个不同的盒子里,每个盒子至少有1个小球的放法种数问题,将10个小球串成一串,截为7段有C_9^7=36种截断法,对应放到8个盒子里.

因此,不同的分配方案共有36种.

【答案】36

7.(1)一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅子,共有几种不同的坐法?

(2)一条长椅上有7个座位,4个人坐,要求3个空位中,恰有2个空位相邻,共有多少种不同的坐法?

【解析】(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×),这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子,①分开插入,如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓),从4个空当中选2个插入,有C_4^2种插法;②2张同时插入,有C_4^1种插法,再考虑3人可交换,有A_3^3种方法.

所以共有A_3^3(C_4^2+C_4^1)=60种.