5.5.2 运用柯西不等式求最大（小)值

一、单选题

1．已知a√(1-b^2 )+b√(1-a^2 )=1，则以下式子成立的是

A．a^2+b^2>1 B．a^2+b^2=1

C．a^2+b^2<1 D．a^2 b^2=1

【答案】B

【解析】由柯西不等式可得1=〖(a√(1-b^2 )+b√(1-a^2 ))〗^2≤[a^2+(1-a^2)][(1-b^2)+b^2]=1，

当且仅当b/√(1-a^2 )=√(1-b^2 )/a时，上式取等号，所以ab=√(1-a^2 ) √(1-b^2 )，即a^2 b^2=(1-a^2)(1-b^2)，

故a^2+b^2=1．故选B．

2．若log2 a＜0，(1/2)^b＞1，则( ).

A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0

C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0

【答案】D

【解析】

试题分析：结合对数函数指数函数单调性可知：log_2 a<0∴01∴b<0

考点：对数函数指数函数性质

3．若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2 的最小值为( )

A．1 B． C． D．11

【答案】C

【解析】由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤（2x2+y2+3z2）（+12+），

故2x2+y2+3z2≥，即：x2+2y2+3z2的最小值为.

故答案为：C.

4．若不等式对于大于的一切正整数都成立，则正整数

的最大值为 （ ）

A.43 B.42 C.41 D. 40