第6课时　直线与双曲线的位置关系

基础达标(水平一 )

1.已知直线l过点(√2,0),且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有(　　).

　　A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

　　【解析】点(√2,0)即为双曲线的右顶点,过该点的直线有2条与双曲线渐近线平行且与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.

　　【答案】C

2.已知双曲线C:x^2/a^2 -y^2/4=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2,则|PF2|等于(　　).

　　A.4 B.6 C.8 D.10

　　【解析】依题意,有2/a=2/3,所以a=3,因为|PF1|=2,所以点P在双曲线的左支上,所以|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF2|=8,故选C.

　　【答案】C

3.已知点P(3,-4)是双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若(EP) ⃗·(FP) ⃗=0,则双曲线的方程为(　　).

　　A.x^2/3-y^2/4=1 B.x^2/4-y^2/3=1

　　C.x^2/9-y^2/16=1 D.x^2/16-y^2/9=1

　　【解析】由题意知,点E(-c,0),F(c,0),则(EP) ⃗·(FP) ⃗=(3+c,-4)·(3-c,-4)=9-c2+16=0,所以c2=25.可排除A,B选项.

　　又D选项中双曲线的渐近线方程为y=±3/4x,点P不在渐近线上,排除D选项,故C正确.

　　【答案】C

4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(　　).

　　A.("-" √15/3 "," √15/3) B.(0"," √15/3)

　　C.("-" √15/3 "," 0) D.("-" √15/3 ",-" 1)

　　【解析】由{■(y=kx+2"," @x^2 "-" y^2=6"," )┤得(1-k2)x2-4kx-10=0.

　　由题意得{■(1"-" k^2≠0"," @Δ=16k^2+40"(" 1"-" k^2 ")" >0"," @4k/(1"-" k^2 )>0"," @10/(k^2 "-" 1)>0"," )┤解得-√15/3

　　【答案】D

5.过双曲线x^2/a^2 -y^2/(5"-" a^2 )=1(a>0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点.则双曲线离心率的取值范围为　　　　.

　　【解析】由题意可知{■(5"-" a^2>0"," @2<√((5"-" a^2)/a^2 )<3"," )┤从而4<(5"-" a^2)/a^2 <9,

所以e=√(1+(5"-" a^2)/a^2 )∈(√5,√10).