1.已知函数f(x)=ex-a(x-1),其中a>0,e为自然对数的底数.

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)已知b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.

【解析】(1)因为f'(x)=ex-a,因为a>0,

由f'(x)=0得,x=ln a,

所以当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,

f(x)单调递减;

当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

综上可得,函数f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).

(2)因为a>0,由函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,

得b≤f(x)min,

因为f(x)min=f(ln a)=2a-aln a,

所以b≤2a-aln a.

所以ab≤2a2-a2ln a,

设g(a)=2a2-a2ln a(a>0),

所以g'(a)=4a-(2aln a+a)=3a-2aln a,

由a>0,令g'(a)=0,得ln a=3/2⇒a=e^(3/2),

当a∈0,e^(3/2)时,g'(a)>0,g(a)单调递增;

当a∈e^(3/2),+∞时,g'(a)<0,

g(a)单调递减,

所以g(a)max=e^3/2,即ab的最大值为e^3/2,